Steckbriefaufgaben Mathe Hilfe bitte?
Hallo liebe Community, wir haben als Hausaufgabe auf: Der Graph hat bei 5 einen Hochpunkt. Der Punkt (1|1) liegt auf dem Graphen. Der Graph hat an der Stelle x=3 einen Wendepunkt. Ich brauche Hilfe bei den Bedingungen! Also theoretisch muss es ja eine Funktion mindestens 3. Grades sein, wegen dem Wendepunkt. Habe aber nur drei Bedingungen: f'(5)=0 f(1)=1 f''(3)=0 Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke schon einmal im Voraus
4 Antworten
Der Graph hat bei 5 einen Hochpunkt.
Die notwendige Bedingung ist f'(x) = 0!
Du berechnest damit die Nullstellen der Ableitung, um die (x-) Stellen zu finden, wo der (y-) Wert gleich null ist.
Warum?
Weil die Ableitung die Steigung angibt. Extrempunkte haben immer die Steigung null. Deswegen berechnet man die Nullstellen der Ableitung, um die Extremstellen zu finden.
Anschließend macht man noch die hinreichende Bedingung. Das heißt man stellt die Intervalle auf und bestimmt das Monotonieverhalten. Ich denke aber, dass du nur die notwendige Bedingung bei dieser Hausaufgabe aufschreiben musst.
Der Punkt (1|1) liegt auf dem Graphen.
Die Bedingung dafür ist meines Erachtens nach einfach wie du auch sagst f(1)=1.
Der Graph hat an der Stelle x=3 einen Wendepunkt.
Hier kommt es glaube ich auf die Vorgehensweise bei euch an. Bei mir in NRW berechnen wir normalerweise nur mit dem Monotonieverhalten, sprich man stellt nach dem berechnen der Nullstellen die Intervalle auf uns setzt Werte die zwischen den Intervallen liegen in die Ableitung ein. Anschließend prüft man die Vorzeichenwechsel.
Man kann das ganze aber eben auch mit der 2. Ableitung machen.
Ich denke also, egal ob f'(3) = 0 und f''(3) = 0 sollten hier richtig sein. Das kommt drauf an wie weit ihr seid oder welche Verfahren ihr überhaupt kennen lernen werdet, da das in den einzelnen Bundesländern wie gesagt immer wieder anders ist.
Verstehe ich nicht ganz.
Die Bedingung müssen wir ja aufstellen. lokaler Extrempunkt, also Hoch-, Tief- oder Sattel-/Terassenpunkt hat immer die Steigung 0.
Deswegen ist die Bedingung auch f'(5) = 0. An der Stelle x=5 muss die Ableitung also eine Nullstelle haben und somit den Wert y=0 haben. Ansonsten kann dort kein Hochpunkt liegen.
Bei f''(3) = 0 bin ich mir allerdings wie gesagt nicht ganz sicher. Das ist sehr unterschiedlich und kommt immer drauf an.
Wendepunkt bei x=3 bedeutet: f''(3)=0.
Gleichzeitig f'(3)=0 bedeutet, die Funktion hat bei x=3 einen Sattelpunkt. Davon ist in der Aufgabenstellung aber nicht die Rede, also ist die aufgestellte Bedingung f'(3)=0 nicht korrekt.
Okay, das kann gut sein. wie gesagt, da bin ich mir nicht ganz sicher gewesen.
Aber f'(5) = 0 muss richtig sein, da bin ich mir mehr als sicher.
Zunächst vernachlässigst du die Tatsache mit dem Maximum und stellst die anderen 3 Gleichungen auf.
Basis: ax³ + bx² + cx + d = y
Dann erhältst du 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten, was zur Folge hat, dass alle von dem nicht bekannten a abhängen (Kurvenschar).
b = -9a
c = 15a
d = 1 - 7a
Nun bearbeiten wir den Hochpunkt. Die Bedingung ist 30a + 2b < 0
(aus der zweiten Ableitung). Um mir einen Überblick zu verschaffen, will ich wenigstens ein Beispiel haben:
30a + 2b < 0 | /2
15a + b < 0 | von oben nehme ich b = -9a
15a - 9a < 0
6a < 0
Da gibt es jetzt viele (Kurvenschar). Ich wähle a = -1, dann ist es z.B. erfüllt.
Daraus folgt: a = -1 b = 9 c = -15 d = 8
f(x) = -x³ + 9x² - 15 x + 8
Das ist eine der Funktionen, die die Bedingungen erfüllen müssen. (Bedingung für alle: 15a + b < 0)
Das tut sie auch, wie eine schnelle Nachrechnung beweist:
f(1) = 1; f'(5) = 0; f"(5) = -12 < 0; f''(3) = 0
ok danke;) ja wie man die Funktionsgleichung aufstellt war mir klar, aber der Schritt danach nicht:) habs es jetzt verstanden. Tausend dank!
Ich dachte, das wüsstest du.
Es ist doch das normale Gerechne bei Steckbriefen, nur dass für a nichts eingegeben werden kann. Ich habe es natürlich Wolfram machen lassen. Aber es geht auch zu Fuß. Guck mal her:
ax³ + bx² + cx + d = y
3ax² + 2bx + c = y'
6ax + 2b = y''
Die erste Gleichung nehme ich aus Punkt (1|1):
I a + b + c + d = 1
Die zweite liefert mir der Hochpunkt mit x = 5:
II 75a + 10b + c = 0
Dann ist da noch W mit x = 3:
III 18a + 2b = 0
Dann ist da noch die Bedingung für den Hochpunkt selber, die ich aufstelle, aber erstmal nicht berücksichtige:
IV 30a + 2b < 0
Jetzt kümmern wir uns um die einzelnen Parameter:
aus III 2b = - 18 a
b = - 9a
aus II 75a - 90a + c = 0
c = 90a - 75a
c = 15a
aus I a - 9a + 15a + d = 1
d = 1 - a + 9a - 15 a
d = 1 - 7a
Wie du schon richtig herausgefunden hast, gilt folgendes:
f'(5) = 0 (Extrempunkt bei x = 59
f(1) = 1 (Punkt bei (1 | 1))
f''(3) = 0 (Wendepunkt bei x = 3)
Außerdem gilt noch, dass bei x = 5 nicht nur ein Extrempunkt, sondern sogar ein Hochpunkt existiert, das heißt:
f''(5) < 0
Mit diesen vier Bedingungen sollte imho mindestens eine spezifische Funktion zu bestimmen sein. ;)
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi
Für eine eindeutige Lösung muss ein lineares Gleichungssystem mit 4 Gleichungen gelöst werden.
Da f''(5) < 0
eine Ungleichung ist, wird die Lösung eine Funktionsschar sein.
wie soll ich die Funktionsgleichung bei f''(5)<0 aufstellen?:)
Du stellst einfach eine Ungleichung auf.
Ob in der Mitte jetzt ein Gleichheitszeichen oder ein Kleiner-Größer-Zeichen steht, sollte dich nicht verwirren.
Es wird wahrscheinlich nicht nur eine einzige spezifische Lösung, sondern mehrere geben.
Je nach Aufgabenstellung gibst du dann entweder eine spezifische Lösung oder eine allgemeine Lösung an. ;)
LG Willibergi
Ist die Aufgabenstellung exakt wiedergegeben worden? Oft ist bei solchen Aufgaben schon ein einziges (ausgelassenes) Wort ausschlaggebend.
Ist halt ungewöhnlich, dass mal nicht alle benötigten Bedingungen aufgestellt werden können, um eine eindeutige Funktion zu ermitteln.
Ist halt ungewöhnlich, dass mal nicht alle benötigten Bedingungen aufgestellt werden können, um eine eindeutige Funktion zu ermitteln.
Das sind dann eben Transferaufgaben. Der Schüler soll offensichtlich lernen, was er tut, wenn es mehrere Funktionen gibt, die die Bedingungen erfüllen.
Zwar ungewöhnlich, aber imho auch sehr sinnvoll. ^^
LG Willibergi
Sehe ich genauso. Mal was anderes :)
Na dann bleibt nur übrig, die Unbekannten b,c und d so aufzulösen, dass sie alle von a abhängig sind, und man letztendlich f_a(x)=... erhält, wobei aufgrund der aufstellbaren Ungleichung bzw. der vorgegebenen "Fakten" a<0 sein muss.
(Wenn ich mich nicht grob vertan habe, muss bei dieser Funktionsschar bei P(1|1) auch der Tiefpunkt sein...)
kleine Verbesserung - letzter Absatz: f'(5)=0, f''(3)=0 welche Steigung der Wendepunkt hat, kann man so einfach nicht sagen. Falls erste Ableitung an gleicher Stelle 0 wie der Wendepunkt, dann wäre es sogar ein sog Terrassenpunkt.