Steckbriefaufgabe Mathematik, Graph punktsymmetrisch zum Ursprung

Vorab: Ich bin nicht irgend so ein fauler Schüler der beabsichtigt diese Plattform als Hausaufgabenportal zu nutzen.

Trotzdem habe ich ehrlich gesagt eine Frage zu meiner Hausaufgabe, mit der ich mich nun schon über eine Stunde auseinandersetze. Es handelt sich um eine Steckbriefaufgabe, bei der eine Funktion dritten, bzw. vierten Grades gesucht ist. Das heißt es müssen vier Bedingungen gefunden werden, jedoch finde ich sowohl bei c) als auch bei d) nur 2 Bedingungen.

Aufgabe c): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, geht durch den Punkt P(1|-1) und hat an der Stelle x=0 einen Extrempunkt. Meine bisherige Lösung: f(1)=-1 und f ' (2)=0 Dort fehlen mir 2 weitere Bedingungen.

Aufgabe d) Der Graph hat bei x=2 und x=4 relative Extremstellen, der Wendepunkt liegt auf der y-Achse. Meine Lösung: f ' (-2)= 0 und f ' (4)=0, des weiteren sollte, so nehme ich an, eine weitere Bedingung f (0)=__ lauten. Trotzdem fehlt hier mindestens eine weitere Bedingung.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen, Alex :)

Answer 1

[Volens]

Die Punktsymmetrie
f(x) = -f(-x)
bedeutet, dass nicht nur der Punkt (1|-1) auf der Kurve liegt, sondern auch (-1|1)..
Weiterhin bedeutet es, dass die Kurve auch durch (0|0) geht und damit d = 0 ist. Somit hast du drei Bedingungen. Das reicht, um a, b und c zu errechnen,

Die zweite Kurve ist 4. Grades?
Nun du hast vier von den Bedingungen, wie du ja sagst, die Punkte selber und die Bedingungen aus der 1. Ableitung. Dass die Gleichung einen Wendepunkt auf der y-Achse hat, bedeutet für die Gleichung f '' (x) = 12ax² + 6bx + 2c = 0, dass bei Nullsetzung wegen x=0 auch c=0 sein muss.

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Answer 2

[Joochen]

Zu c)

Du hast

 f(0) = 0,  f''(0) = 0, f''(0) = 0 (wegen der Punktsymmetrie), f(1) = -1.

Terme mit x^2 und x^4 kommen nicht vor wegen der Punktsymmetrie.

Reicht das?

Comments

[xXAlexxDXx]

hmmm hättest du vielleicht einen Hinweis zum Lösungsweg?

[Joochen]

Mein Tippfehler: Die zweite Bedingung soll lauten

 f'(0) = 0 (Extremum)

Die Bedingungen führen auf ein lineares Gleichungssystem für die Polynomkoeffizienten.

Answer 3

[Ellejolka]

c) y=ax³+ bx da brauchst du nur 2 Infos ; f(1)= -1 und f '(0)=0

d) y=ax^4+bx³+cx²+dx+e da brauchst du 5 Infos

2 hast du schon und f " (0) = 0 wegen Wendepunkt

Answer 4

[Trinity42]

Ich verstehe die Antwort von Volens leider nicht richtig.

Woher weiss ich denn, ob es eine Kurve 4. Grades ist? Es könnte doch auch eine 3. Grades sein?

Für eine Kurve 4. Grades benötige ich doch 5 Infos, wenn ich mich nicht irre; da ich ja hier 5 Koeffizienten berechnen muss! Welche 5 Infos bietet mir denn die Aufgabe?

1. Punkt bei x = -2
2. Punkt bei x = 4
3. Wendepunkt auf der y-Achse, d.h. x = 0 in 2. Ableitung einsetzen.
4. ?
5. ?

Mir fehlen noch zwei Infos.

Wäre prima, wenn ihr mir helfen könntet. Vielen Dank im Voraus.