MATHE GENIE hilfeee?
Wir sollen einen funktionsterm dieser Funktion angeben : Der graph einer ganz rationalen Funktion 3 grades geht durch den Punkt ( 2 | -3 ) und besitzt den Wendepunkt ( 4 | yw )mit der dazugehörigen Wendetangente t(x) = -3x + 11
4 Antworten
Mit "Hilfe"-rufen löst sich eine Aufgabe auch nicht schneller... Du stellst zunächst aus deinen Bedingungen 4 Punkte bzw Bedingungen auf, die du brauchst, um eine Funktion 3. Grades zu bestimmen. Mit denen kannst du 4 Gleichungen aufstellen. Das Gleichungssystem musst du dann lösen, das solltest du aber schon können.
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
--------------
I) f(2)=3
3= a*2^3 +b*2^2+c*3+d
II) f ' ' (4)= 0
....(s.o.)
III) Die Steigung der Tangente am Wendepunkt ist gleich der Steigung an der Stelle x=4. Damit folgt f '(4)= -3 . Außerdem liefert dir die Formel der Tangente IV) den Funktionswert am Wendepunkt, wenn du x= 4 einsetzt.
https://www.mathelounge.de/35176/kubische-funktion-aus-4-punkten-aufstellen-p-1-1-q-1-0-r-2-3-s-2-5
Die Grundgleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades lautet:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Erstelle ein lineares Gleichungssystem (LGS), welches mindestens 4 Gleichungen besitzt, damit du das LGS konkret lösen kannst.
geht durch den Punkt ( 2 | -3 )
Daraus lässt sich folgende Bedingung machen:
f(2) = -3
besitzt den Wendepunkt ( 4 | yw ) mit der dazugehörigen Wendetangente t(x) = -3x + 11
Bedingung für den Wendepunkt:
f''(4) = 0
Die Wendetangente gibt dir die Steigung im Wendepunkt an, welche m=-3 beträgt. Anders geschrieben:
f'''(4) = -3
Die Wendetangente berührt den Wendepunkt der Funktion f. Berechne also die Schnittpunkte, um die y-Koordinate zu berechnen. Du weißt aber, dass der Wendepunkt die x-Koordinate x=4 hat. Also setzten wir das einfach in die Funktion t der Wendetangente ein.
t(4) = -1
Damit hat der Wendepunkt die Koordinaten W(4|-1). Daraus ergibt sich ebenfalls:
f(4) = -1
Mit diesen 4 Bedingungen kannst du dir nun ein LGS erstellen und dieses z.B. mit dem Taschenrechner oder schriftlich mit dem Gauß-Algorithmus lösen.
__________________________________________________________
Liebe Grüße
TechnikSpezi
f(2) = -3 Punkt
f '(4) = -3 gleiche Steigung wie t
f " (4) = 0 wegen Wendepunkt
f(4) = t(4) gemeinsamer Punkt
f(x)=a3*x^3+a2*x^2+a1*x+ao
f´(x)=3*a3*x^2+2*a2*x+1*a1
f´´(x)=6*a3+2*a2
Mit den Angaben erhält man ein "lineares Gleichungssystem" (LGS) mit 4 Unbekannte a3,a2,a1 u.ao und 4 Gleichungen,also lösbar
1. 8*a3+4*a2+2*a1+1*ao=-3 aus den Punkt P(2/-3)
2. 64*a3+16*a2+4*a1+1*ao=-1 aus t(x)=-3*4+11=-1 Wendetangente
3. 48*a3+8*a2+1*a1+0*ao=-3 aus f´(x)=-3 aus t(x)=m*x+b hier m=-3
4. 24*a3+2*a2+0*a1+0*ao=0 aus f´´(x)=0
Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio) a3=1 a2=-12 a1=45 ao=-53
gesuchte Funktion f(x)=x^3-12*x^2+45*x-53
In "Handarbeit" muß man das LGS mit den Methoden lösen,wie sie im Mathe-Formelbuch stehen
1. "Additionsverfahren"
2. "Gleichsetzverfahren"
3. "Einsetzverfahren" (Substitutionsverfahren)
4. "Gaußscher Algorithmus"
Dankeee