Stammfunktion von f(x)=a*b^x?

Hallo, kann mir jemand bitte beweisen, dass F(x)= a/ln(b) * b^x die Stammfunktion von f(x)=a*b^x ist? Also ich weiß nicht wie ich F(x) ableiten soll. Danke

Answer 1

[evtldocha]

Ich würde das mal so

$F(x)=\frac{a}{\ln\left(b\right)}\cdot b^x=\frac{a}{\ln\left(b\right)}\left(e^{\ln\left(b\right)}\right)^{^x}=\frac{a}{\ln\left(b\right)}\cdot e^{x\cdot\ln\left(b\right)}$

schreiben, denn die Ableitung der e-Funktion hat man immer im Kopf (Hinweis: "a" und "ln(b)" sind natürlich Konstanten). Damit:

$F'\left(x\right)=\frac{a}{\ln\left(b\right)}\cdot e^{x\cdot\ln\left(b\right)}\cdot\ln\left(b\right)\ =\ a\cdot e^{x\cdot\ln\left(b\right)}=a\cdot b^x$

Answer 2

[Tennis92927]

Hallo

Um zu zeigen, dass F(x) = a/ln(b) * b^x die Stammfunktion von f(x) = a*b^x ist, müssen wir die Ableitung von F(x) berechnen und sicherstellen, dass sie gleich f(x) ist.

Zuerst leiten wir F(x) ab:

d/dx (a/ln(b) * b^x) = a/ln(b) * d/dx (b^x)

Um d/dx (b^x) zu berechnen, verwenden wir die Ableitungsregel der Exponentialfunktion:

d/dx (b^x) = ln(b) * b^x

Jetzt setzen wir das in die Ableitung von F(x) ein:

a/ln(b) * d/dx (b^x) = a/ln(b) * ln(b) * b^x

Die ln(b) auf der rechten Seite hebt sich auf, und wir erhalten:

a * b^x

Da dies genau f(x) ist, haben wir bewiesen, dass F(x) = a/ln(b) * b^x die Stammfunktion von f(x ) = a*b^x ist.

Comments

[DerRoll]

Da hat ChatGPT ja mal ausnahmsweise richtig gerechnet, das kommt selten vor.

[LoverOfPi]

@DerRoll

Ja, das ist ein sehr offensichtlicher ChatGPT-Text

[Halbrecht]

@DerRoll

Vielleicht ist ChatGPT ja nun ganz kaputt, weil es mal richtig tut.

Answer 3

[Halbrecht]

a/ln(b) braucht man nicht zu beachten erstmal , ist nur eine Zahl .

Exponentialfkt wie b^x haben als Ableitung ln(b) * b^x

So kürzt sich ln(b) weg