Stammfunktion von ln(x)
Ich habe momentan ein großes Problem für die Bildung der Stammfunktion von ln(x). In vielen Threads habe ich irgendetwas von partieller Integration gelesen, aber dies wurde nicht verdeutlicht. Kann mir einer die partielle Integration erklären?
3 Antworten
Mit partieller Integration geht das so:
Man schreibt den Integranden ln(x) als Produkt, nämlich ln(x) = 1 * ln(x)
Das scheint möglicherweise blöd oder seltsam, aber es ist nützlich, denn nun kann man schreiben:
ln(x) = u'(x) * v(x)
wobei u(x) = x und v(x) = ln(x)
Aus der Produktregel, die so lautet: (u(x) * v(x))' = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)
folgt u'(x)*v(x) = (u(x) * v(x))' - u(x)*v'(x)
Im konkreten Beispiel:
ln(x) = 1 * ln(x) = (x * ln(x))' - x * 1/x = (x * ln(x))' - 1
Integriert:
Integral (ln(x) dx) = x * ln(x) - Integral (1 dx) = x * ln(x) - x + C
oder: Integral (ln(x) dx) = x * (ln(x) - 1) + C
f(x) = ln(x)
F(x)= x * ln(x) - x
Wenn du das ableitest.. F'(x) = x * 1/x + 1 * ln(x) - 1 = 1 + ln(x) - 1 = ln(x)
Richtig. Ganz genau kann ich dir leider auch nicht erklären wieso die Ableitung von ln(x) 1/x ist. Bin selber noch in der Schule, fakt ist aber, dass es so ist.
Ich habe jetzt etwas in meinen Unterlagen gestöbert und dabei entdeckt, dass ja die Stammfunktion von 1/x gleich ln(x) ist (logisch da ln(x)'=1/x). Um die ´Stammfunktion von 1/x herauszufinden, haben wir einfach die Umkehrfunktion von ln(x) benutzt. Also, wenn man eine Funktion f(x)=ln(x) hat, muss man diese mit Hilfe der Umkehrfunktion nach x umformen: e^(f(x))=x . Man muss nun an beiden Seiten der Gleichung ableiten: e^(f(x))f '(x)=1. Da ja f(x) = ln(x) ist kann man in der gleichung ln(x) für f(x) einsetzen.: e^ln(x) * ln ' (x)= 1. Wie man weiß, gleicht sich e und ln aus, sodass von e^ln(x) nur noch x zurückbleibt: x ln ' (x) = 1. Jetzt muss ln ' (x) alleine stehen: ln ' (x) = 1/x.
Fertig :D
Die Stammfunktion von ln(x) steht in jeder Formelsammlung xD
f(x)= ln(x)
F(x)= x* ln(x) - x
f ' (x) = 1/ x
ob eine Stammfunktion "richtig" ist kannst du durch die Ableitung der Stammfunktion überprüfen. ( F ' (x)= f(x) )
Supi!! Vielen Dank! Aber eine Frage hätte ich da noch.... so wie ich das sehe, hast du mit der Produnktregel bzw. Summenregel abgeleitet und dabei hast du 1/x als Ableitung von ln(x). Wie bist du darauf gekommen?