Beweisen Sie, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist?

Answer 1

[Willibergi]

Na ja, einfach die Definitionen anwenden:

$f \text{ injektiv} \iff \forall x, y \in \mathbb R^2: f(x) = f(y) \implies x = y$ $f \text{ surjektiv} \iff \forall y \in \mathbb R^2 \, \exists x \in \mathbb R^2: f(x) = y$

Zur Injektivität: Wir sollen etwas für alle x, y aus IR² zeigen. Also nehmen wir uns zwei beliebige x, y und zeigen die Aussage für die - hier eine Implikation, d.h. wir nehmen die Prämisse an und zeigen, dass dann auch die Konklusion wahr ist. Also hier:

$\text{Seien $x,y \in \mathbb R^2$ und gelte $f(x) = f(y)$. Dann ... ... ... $\implies x = y$.}$

Zur Surjektivität: Wir sollen wieder etwas für alle y aus IR² zeigen. Also nehmen wir uns ein beliebiges raus und zeigen die Aussage für das - hier eine Existenzaussage, d.h.

• entweder "basteln" wir uns aus dem gegebenen y ein x, sodass f(x) = y ist (ein konstruktiver Existenzbeweis)
• oder wir zeigen nur, dass ein solches x existiert (zum Beispiel, indem wir annehmen, es würde keines mit dieser Eigenschaft existieren und das zum Widerspruch führen).

In dem Fall ist die erste Variante die einfachere. Also hier:

$\text{Sei $y \in \mathbb R^2$. Setze $x := ...$, dann gilt damit $f(x) = \ldots = y$.}$

Du musst jetzt nur noch die Leerstellen ausfüllen. Wie können wir im ersten Fall von f(x) = f(y) zu x = y kommen? Und wie müssen wir im zweiten Fall das x wählen (natürlich in Abhängigkeit von y), damit f(x) = y gilt?

LG

Comments

[galaxy123789]

Danke, das hat mir sehr geholfen