Sind alle Kommazahlen Rational?

hey.
ich frage mich ob alle nicht unendlichen Kommazahlen rational sind. Also zB 3,181819 oder -8,179917.

würde mich über eine Antwort freuen

vg

Answer 1

[mihisu]

Ja, alle Kommazahlen mit endlich vielen Nachkommastellen sind rationale Zahlen.

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Begründung: Wenn man eine Zahl mit n Nachkommastellen hat, also quasi eine Zahl der Form a,b₁b₂...bₙ (mit der „Vorkommazahl“ a und den Nachkommaziffern b₁, b₂, ..., bₙ), so kann man diese Zahl als Bruch

$\frac{ab_1b_2...b_n}{10^n}$

mit den ganzen Zahlen ab₁b₂...bₙ und 10ⁿ schreiben. (Und die rationalen Zahlen sind genau die Zahlen, die als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können.)

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Bei deinen Beispielen 3,181819 bzw. -8,179917 ist beispielsweise...

$3\text{,}181819=\frac{3181819}{1000000}$

$-8\text{,}179917=\frac{-8179917}{1000000}$

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[username628]

Ahhhh ja danke, das hat mir sehr geholfen

Answer 2

[DerRoll]

Du kannst jede endliche Kommazahl trivial als Bruch darstellen. Ohne Beschränkungcder Allgemeinheit verwenden wir nur Zahlen der Form x = a,bcd... wobei yeder Buchstabe eine Ziffer darstellen soll. Sei n die Zahl der Ziffern ab der nur noch 0en kommen. Dann ist

x = abcd.../10^n

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

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[username628]

Dankeschön!

Answer 3

[Sullyhero]

Ja, sind sie. Solange sie nicht periodisch sind, sind alle Dezimalzahlen rational.

Edit: Periodische Dezimalzahlen sind natürlich auch rational.

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[DerRoll]

Xxx

[sebastianla]

Auch periodische Dezimalzahlen sind rational. Nur Dezimalzahlen, die unendlich lang "immer anders" weitergehen, sind irrational.

[Sullyhero]

@sebastianla

Stimmt, entschuldige, da hab ich wohl grad gepennt.

Answer 4

[Tannibi]

Alle nicht unendlichen - der Fachmann sagt auch alle endlichen - sind rational.

Answer 5

[Florabest]

Nein. Sonst gäbe es ja keine nicht-rationalen Zahlen.

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[DerRoll]

Den selben Fehler hätte ich auch beinahe begangen. Du hast das "nicht unendlich" übersehen. Jede endliche Dezimalzahl ist rational.

[Florabest]

@DerRoll

Das "nicht unendlich" stand noch nicht da, als ich geantwortet habe. .... ich schwöre!!!!

[Florabest]

@Florabest

Ich wollte nämlich genau das noch ergänzen. Aber dann habe ich die anderen Texte gelesen..... und fern gesehen.

[Florabest]

@Florabest

... das kannst du auch daran erkennen, dass die ersten Antworten auf die periodischen Dezimalzahlen abheben. Periodisch und gleichzeitig endlich viele Stellen macht ja so gar keinen Sinn. Erst die späteren Antworten (mihisu) beziehen sich auf endliche Dezimalzahlen.