Woher weiß man, dass Pi unendlich ist?
Kein Mensch konnte es je ganz ausrechnen, daher sei es ja eine unendlich lange Kommazahl. Aber es gibt doch auch keinen Beweis dafür, dass es keine unendliche Kommazahl ist? Es könnte doch plötzlich Schluss sein? Oder überseh ich grad was?
13 Antworten
Pi ist nicht unendlich, sondern hat nur eine unendliche lange Dezimaldarstellung. Dass das so ist, kann an beweisen (wenn man kann). Ist allerdings etwas über Mittelstufenmathematik - Niveau.
Das Verfahren zur Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche steht hier: http://tinyurl.com/7587u4j Wie schon gesagt: Da sich jede solche Dezimalahl in einen Bruch verwandeln lässt (und jeder Bruch in eine endliche oder periodische Dezimalzahl), ist automatisch klar, dass jede irrationale Zahl unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen hat.
Beweis für die Irrationalität von Pi: http://www.heldermann-verlag.de/Mathe-Kabinett/IrrationalitaetVonPi.pdf Brauchst aber mindestens Mathe-Abi dafür, um den zu verstehen.
es könnte bestimmt irgendwann vllt einmal irgendwann schluss sein, aber das ist so weit hinten, das es nichts ausmacht, denke ich.... außerdem ist es einfach "festgelegt" nehm es hin....
es könnte bestimmt irgendwann vllt einmal irgendwann schluss sein,
Nein. Siehe meine Antwort.
Und ein Blick nach wikipedia hätte es auch getan.
Oder überseh ich grad was?
Ja, nämlich dass es den Beweis schon seit ca 250 Jahren gibt.
Erstmal:
- Rationale Zahlen sind die, die als gewöhnlicher Bruch (Verhältnis zweier ganzer Zahlen) darstellbar sind.
- Irrationale Zahlen sind die, die nicht als gewöhnlicher Bruch darstellbar sind.
Man kann nun beweisen:
- Jede rationale Zahl hat im Dezimalsysstem entweder eine abbrechende (endliche) Darstellung, oder die Dezimaldarstellung ist ab irgendeiner Stelle periodisch (und umgekehrt stellt jede solche Dezimalzahl eine rationale Zahl dar).
- Jede irrationale Zahl hat im Dezimalsystem eine nicht-abbrechende (dh: unendliche) nicht-periodische Darstellung (und umgekehrt stellt jede solche Dezimalzahl eine irrationale Zahl dar)
(Alles Schulstoff der Mittelstufe!)
Wenn also von einer Zahl bewiesen ist, dass sie irrational ist, dann weiß man automatisch auch, dass sie eine unendliche nicht-periodische Dezimaldarstellung hat. Das weiß man dann, ohne auch nur eine einzige Nachkommastelle berechnen zu müssen.
Man schließt also von der Irrationalität auf die Nachkommastellen. Kein Mensch zählt Ziffern.
Vor ca 250 Jahre hat der Mathematiker Lambert bewiesen, dass Pi irrational ist, daher weiß man, dass Pi sich im Dezimalsystem mit unendlich vielen nicht-periodischen Nachkommastellen schreibt.
Der Beweis ist schwierig und geht über den Schulstoff hinaus. Aber schau dir doch mal den Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2 an, der ist einfach und kommt oft auch im Mathe-Unterricht in der Schule.
ich weiß, dass man rationale / periodische Zahlen als Bruch darstellen kann und irrationale / nich periodische nicht.. bin grad 9. klasse gymnasium, zwar nicht klassenbeste aber kann dem stoff durchaus folgen! ich wollte wissen, woher man weiß, dass pi irrational ist oder überhaupt irgendeine nicht periodische zahl.. wenn es doch nie ein mensch berechnen konnte.
ich wollte wissen, woher man weiß, dass pi irrational ist oder überhaupt irgendeine nicht periodische zahl
Lies doch bitte erst mal meine Antwort durch.
wenn es doch nie ein mensch berechnen konnte.
In meiner Antwort steht: "Wenn also von einer Zahl bewiesen ist, dass sie irrational ist, dann weiß man automatisch auch, dass sie eine unendliche nicht-periodische Dezimaldarstellung hat. Das weiß man dann, ohne auch nur eine einzige Nachkommastelle berechnen zu müssen. Man schließt also von der Irrationalität auf die Nachkommastellen. Kein Mensch zählt Ziffern."
Niemals schließt man von den Ziffern auf die Irrationalität. Weil man unendlich viele Ziffern nicht kennen kann. Sondern umgekehrt: Von der Irrationalität auf die Nachkommastellen.
Ich hatte dich doch auf den Beweis der Irrationalität von Wurzel(2) aufmerksam gemacht. Den solltet ihr in der Schule gehabt haben. Zählt man da etwa Ziffern? - Nein, man beweist, dass Wurzel(2) nicht das Verhältnis zweier ganzer Zahlen sein kann (Beweis von Euklid).
Auch der Beweis der Irrationalität von Pi geht so, dass gezeigt wird, dass Pi nicht das Verhältnis zweier ganzer Zahlen sein kann. Das ist halt bloß deutlich schwieriger als bei Wurzel(2).
das ist ja schön und gut, aber woher will man wissen, dass eine ''irrationale'' zahl nicht plötzlich nach was weiß ich wie vielen stellen aufhört? also fertig gerechnet is oder sonst was? das kann man nicht beweisen.
Ja natürlich! Lies doch! Eben das hat Herr Lambert bewiesen! Und wenn die Dezimalbruchentwicklung irgendwann aufhören würde, wäre Pi eine rationale Zahl!
das kann man nicht beweisen.
Stell doch nicht einfach solche Behauptungen auf. Beim Thema "Dezimalzahlen" habt ihr in der sechsten Klasse gelernt, dass eine Bruchzahl entweder endlich viele Nachkommstellen hat, oder ab irgendeiner Stelle periodisch wird. Und da habt ihr auch ein Verfahren kennengelernt, wie man jede endliche und vor allem: jede periodische Dezmalzahl in einen Bruch verwandeln kann.
Man schreibt die Periode in den Zähler, in den Nenner kommt eine Zahl bestehend aus sovielen Neunern wie die Periode lang ist, zB:
0,438438438... = 438/999
Bei Zahlen mit Vorperiode braucht man noch einen Schritt mehr, aber das Prinzip ist dasselbe. Und nun, wenn jede rationale Zahl eine endliche oder periodische Dezimalzahl ergibt und umgekehrt jede solche Dezimalzahl eine rationale Zahl darstellt (stand übrigens auch schon in meiner Antwort), so folgt, dass die irrationalen Zahlen nur eine unendliche nichtperiodische Dezimaldarstellung haben können. Das ist schon der Beweis. Schulstoff der Klasse 6 reicht dafür.
Das Verfahren zur Umwandlung periodischer Dezimalzahlen in Brüche steht hier: http://tinyurl.com/7587u4j Wie schon gesagt: Da sich jede solche Dezimalahl in einen Bruch verwandeln lässt (und jeder Bruch in eine endliche oder periodische Dezimalzahl), ist automatisch klar, dass jede irrationale Zahl unendlich viele nichtperiodische Nachkommastellen hat.
Beweis für die Irrationalität von Pi: http://www.heldermann-verlag.de/Mathe-Kabinett/IrrationalitaetVonPi.pdf Brauchst aber mindestens Mathe-Abi dafür, um den zu verstehen.
Was Du übersiehst: wenn ein Zahl "nach was weiß ich wie vielen stellen aufhört", dann ist sie rational, also sicher nicht irrational. Warum: weil ich eine abbrechende Dezimaldarstellung wie z.B. abc,defgh sofort als acbdefgh / 100000 hinschreiben kann, also als Bruch ganzer Zahlen, also als rational ...
Eine abbrechende Dezimaldarstellung IST automatisch rational, immer.
Ich denke, deine Frage ist de facto: Wie beweist man, dass pi nicht eine rationale, sondern eine irrationale Zahl (also unendlich nicht periodisch) ist? Stimmt's? Dieser Beweis ist sehr schwer zu verstehen. Ich kann nur versuchen, dir das ganze plausibel (also irgendwie glaubhaft) zu machen. Angenäherte Umfangsberechnung durch n -ecke für einen Kreis mit r=1ergibt einen Näherungswert q für 2pi und der ist schon beim einbeschriebenen Quadrat irrational, nämlich q=2*Wu(2). Bei größeren n (z.B. durch fortgesetzte Verdoppelung) wird die Irrationalität wohl nicht verschwinden - ist das glaubhaft? Also kein Beweis, aber eine Antwort, die dir vielleicht genügt.
Wenn sie plotzlich aufhören würde, dann wäre sie rational. Dann könnte man sie nämlich jin einen Bruch umwandeln, wobei im Nenner des Vruches 10 hoch dr Anzahl der Nachkommastellen stehen würfde. Ein Bruh ist aber eine rationale Zahl.
DAs ist ja das Ding. Rechner sind immer damit beschäftigt, die Zahl auf die möglischt weite Nachkommastelle auszurechnen. Hofft man auf ein Ende? Oder einfach aus Neugier? Man weiß es nicht, aber ein Ende gibt es, meiner Meinung nach, nicht.
Hofft man auf ein Ende?
Bei wikipedia steht unter "Kreiszahl", wozu solche Berechnungen dienen.
Man weiß es nicht, aber ein Ende gibt es, meiner Meinung nach, nicht.
Deine Meinug ist falsch. Dass Pi irrational ist, wurde vor 250 Jahren von dem Mathematiker Lambert bewiesen. Steht übrigens auch bei wikipedia. Näheres: Siehe meine Antwort.
Es könnte doch plötzlich Schluss sein?
du hast im Kommentar geschrieben, dass du das mit rationalen und irrationalen Zahlen verstanden hättest. Rational = Verhältnis ganzer Zahlen (Bruchmit Zähler und Nenner ganzzahlig), irrational = nicht Verhältnis ganzer Zahlen.
Wie wandelt man denn eine abbrechende (endliche) Dezimalzahl in einen Bruch um? Das sollte doch kein Problem sein:
0,25 sind fünfundzwanzig Hundertstel, 0,25 = 25/100 (kann man zu 1/4 kürzen).
5,374 = 5374/1000
Die Zifffernfolge kommt (ohne Komma!) in den Zähler, in den Nenner kommt eine Zehnerpotenz, Exponent=Anzahl der Nachkommastellen.
27,123456789 = 27123456789 / 10^9
Annahme: pi = 3,1415926 ... [zwanzig billionen Stellen] ...7, dann wäre
pi = 31415926 ... [zwanzig billionen Stellen] ...7 / 10^zwanzig billionen
-->Verhältnis zweier ganzer Zahlen --> Widerspruch! Denn Pi ist irrational!
Das kann also nicht sein.
Mit den periodischen Dezimalzahlen, das hat dir notizhelge schon richtig erklärt.
jaa ich weiß, pi ist nicht unendlich sondern hat eine unendlich viele nachkommastellen.. aber ich hätt gern die beweise ^^