Was sind die Grenzen von rationalen Zahlen?
Also es geht ja um die Darstellbarkeit als Bruch ganzer Zahlen. Aber streng genommen ist es ja so, dass man auch jede unendlich lange Zahl als Division einer Zahl durch Vielfache von 10 darstellen kann. (Kommaverschiebung nach rechts)...
Ist es also so, dass bei den rationalen Zahlen keine unendlichen Zähler und Nennerwerte auftreten dürfen?
4 Antworten
Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen (das sind alle Zahlen ohne Komma, z.B. 0, 1, 2, -1, -2 usw.) darstellen lassen. Du kannst rationale Zahlen auch als Bruch zweier rationaler Zahlen darstellen, da rationale Zahlen ja nichts anderes als Brüche sind und diese einfach erweitert werden könnten (beispielsweise kannst du auch setzen 0,5 = 3,7/7,4 und diesen Bruch dann mit 10 erweitern, d.h. 0,5 = 37/74). Wichtig ist, dass Brüche, in denen mindestens eine nicht-rationale Zahl vorkommt, keine rationale Zahl mehr darstellen müssen. Pi lässt sich zum Beispiel nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen und du kannst auch nicht einfach pi = pi/1 als Beweis dafür hernehmen, dass pi rational ist, da man beweisen kann, dass pi/1 nicht so erweitert werden kann, dass auf beiden Seiten des Bruches ganze Zahlen stehen. Wichtig ist also die Definition "x ist rational <==> es existieren ganze Zahlen a und b mit x = a/b". Was allerdings stimmt, ist dass du jede reelle Zahl beliebig genau durch eine rationale Zahl annähern kannst (du könntest z.B. pi durch eine rationale Zahl annähern, die sich von pi nur um 0,000000001 unterscheidet).
∞ ist in diesem Zusammenhang doch nur ein Platzhalter für eine beliebig große, aber endliche ganze Zahl.
Das gilt auch für periodische Zahlen, die scheinbar unendlich lang sind, aber in Wirklichkeit nur ein Quotient aus endlichen Zahlen sind, in dessen Nenner man sich beliebig viele Neunen vorstellen kann.
Zusatz zu der Antwort von Luksior:
Aber streng genommen ist es ja so, dass man auch jede unendlich lange Zahl als Division einer Zahl durch Vielfache von 10 darstellen kann. (Kommaverschiebung nach rechts)...
Das stimmt nicht ganz. Das geht nur bei Dezimalzahlen mit endlich vielen Stellen oder periodischen Dezimalzahlen. Aber Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen und ohne Periodizität, geht das nicht, denn ich bräuchte unendlich viele Nullen in der Zehnerpotenz.
Verstehe ich nicht. Eine ganze Zahl ist endlich, eine rationale Zahl ist ein Bruch zweier solcher Zahlen. Wo ist das Problem?
Genau, die Endlichkeit ist wichtig und die steckt ja in der Bedingung, dass man die rationalen Zahlen als Bruch ganzer Zahlen darstellen kann. Ganze Zahlen beinhalten aber nicht die Zahlen "unendlich" und "minus unendlich".
...dass man auch jede unendlich lange Zahl als Division einer Zahl durch Vielfache von 10 darstellen kann.
Nein!
Das kann man nicht.
ja genau, deswegen fragte ich ja nach der Endlichkeit. Das war mir aus der Definition von rationalen Zahlen nicht so ganz klar