Potenzreihe (mit dieser Formel) e hoch x darstellen?

Hallo,

wie genau kommt man ausgehend von dieser Formel:

zur Darstellung von e^x ? Siehe hier:

Answer 1

[evtldocha]

Da Du jetzt mehrfach nachgefragt hast und das Stichwort "Taylorreihe um x₀ = 0" gefallen ist, hier die allgemeine Taylorreihe einer Funktion um den Entwicklungspunkt x₀ = 0" :

$T_{f\left(x,0\right)}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{\left(k\right)}\left(0\right)}{k!}\cdot x^k$

(wobei mit f^(k)(0) die k-te Ableitung am Entwicklungspunkt gemeint ist und die 0-te Ableitung als die Funktion selbst definiert wird)

Wenn nun

$f\left(x\right)=e^x$

ist, dann gilt für die k-te Ableitung an der Stelle 0:

$f^{\left(k\right)}\left(x\right)\ =\ e^x\ \rightarrow\ f^{\left(k\right)}\left(0\right)=e^0=1$

und damit:

$e^x=T_0\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{1}{k!}\cdot x^k\ =\sum_{k=0}^{\infty}\ \frac{x^k}{k!}$

Und nun kannst Du einen Koeffizientenvergleich mit der Definition einer Potenzreihe machen und kommst zum Ergebnis, dass der Koeffizient a_k der Potenzreihe über die Gleichung

$a_k=\frac{1}{k!}$

mit dem Koeffizienten der Taylorreihe verknüpft ist.

Comments

[Soelller]

Vielen Dank. Du hast mir einen anderen Schritt erklärt, den ich auch nachfrage. wollte.

Wieso gibt es manchmal die Formel für eine Potentzereihe, die so ist:

a_n * x^n

und warum manchmal so:

a_n (x - x_0)^n

?

Wo ist da der Unterschied? Wieso diese Formel überhaupt? Ich bin sehr neu,und weiß noch nicht mal, was eine Taylorreihe ist.

[evtldocha]

@Soelller

Du hast mir einen anderen Schritt erklärt, den ich auch nachfrage. wollte.

Nein, habe ich nicht. Ich habe genau Deine Frage beantwortet, wie die Koeffizienten der allgemeinen Potenzreihe und die Potenzreihe der e-Funktion über die Taylorreihe zusammenhängen.

Zum zweiten Teil Deines Kommentars:

Ich habe mehrfach betont, dass x₀ = 0. Da frage ich mich jetzt dann schon, was so schwer nachzuvollziehen ist, dass aus a_n·(x-x₀)ⁿ ein a_n·(x - 0)ⁿ = a_n·xⁿ wird, wenn der Entwicklungspunkt einer Funktion x₀=0 ist. Vielleicht schaust Du Dir mal die "Animation zur Taylorreihenentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle x=0" auf Wikipedia, um zu verstehen, was es mit dem Entwicklungspunkt auf sich hat.

Answer 2

[tunik123]

Das ist die Taylorreihe für exp(x), entwickelt am Punkt x0 = 0.

Da alle Ableitungen von exp(x) wieder exp(x) sind und exp(0) = 1, wird die Reihe sehr übersichtlich.

https://studyflix.de/mathematik/taylorreihen-910

Comments

[Soelller]

Hallo, das habe ich ja verstanden. Bloß, wie komme ich von der obigen formel umgestellt (oder sonst was), damit dann daraus diese Formel, die da unten steht, herauskommt?

ich verstehe also nicht dieses (x-x0)^n

Was setze ich da ein als Beispiel?

[DerRoll]

@Soelller

X0 ist in diesem Fall ja gerade 0, deshalb "Taylorreihe entwickelt um 0".

[Soelller]

@DerRoll

Danke. Und, wie komme ich also von obiger Formel zur unterer?

[DerRoll]

@Soelller

Das hat @evtldocha ja nun erschöpfend dargestellt.

[Soelller]

@DerRoll

Nein, hat er nicht. Er hat etwas anderes erklärt, was ich wissen wollte.

[DerRoll]

@Soelller

Ich verstehe nicht was genau dein Verständnisproblem ist.