Welche explizite Darstellung gilt für diese Zahlenfolge: 0,1,3,6,10,15?
Ich muss in Mathe eine explizite Darstellung der oben genannten Zahlenfolge aufstellen. Ich habe die rekursive bereits, da man immer das vorherige folgenglied mit n addieren muss : an +1 ( nach unten gestellt) = an +n
zum Beispiel : für n = 1 ( in oben genannte Formel einsetzen )
a1+1 = a2 = a1 +1
a2= 0+1 = 1 somit ist a2 = 1 ( passt wie oben in der Zahlenfolge )
nun will ich aber die explizite Darstellung. Im Internet steht etwas von dreickszahlen und einer gaußschen summenformel. Die explizite wäre danach : an= n(n-1) / 2
jetzt verstehe ich nicht, wie man darauf kommt. Diese explizite Darstellung ist richtig, aber wie kommt man darauf. Vor allem das mit durch 2 dividieren ?Und auch das(n-1) Steht das für das folgenglied, das vor dem an folgt?
2 Antworten
1+2+3+4+....+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n
Wenn du den ersten mt dem letzten, den zweiten mit dem zweitletzten usw zusammenzählst, erhältst du immer n+1. Mach das von vorn bis hinten, also n Mal, dann ist die Summe n(n+1). Dann hast du allerdings alles doppelt gezählt und musst die Gesamtsumme deshalb durch 2 teilen.
Also gilt
1+2+3+4+....+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n = n*(n+1)/2
Wenn der Verdacht besteht, dass es sich um eine ganzrationale Funktion handelt, dann sehen wir und die Differenzenfolgen an:
0 1 3 6 10 15
1 2 3 4 5
1 1 1 1
0 0 0
Dringender Verdacht auf ein Polynom zweiter Ordnung.
an = p*n^2 + q*n + s
0 = s
1 = p + q
3 = 4p = 2q
Daraus folgt p = q = 1/2 und s = 0, also
an = 1/2 * n^2 + 1/2 * n = 1/2 * n * (n + 1)