Pi = 4 WTF?!
Es gibt anscheinden einen klaren Beweis dass Pi = 4 ist... Fail?
Naja, theoretisch:
Man nehme einen Kreis (Durchmesser = 1, Nach Archimedes sollte der Umfang Pi sein, das wird aber widerlegt). Um den Kreis macht man ein Quadrat mit dem Umfang 4 (Jede Kante genau 1 = Durchmesser, Kreis). Dann nimmt man die Ecken aus dem Quadrat raus sodass des Umfang 4 bleibt. Dies wiederholt man nun in die Unendlichkeit, Unendlich = Perfekter Kreis. Aber der Umfang bleibt 4.
Ergebnis: Pi = 4. Nun die Frage: Warum ist Pi immer noch diese bescheuerte 3.14 Dings wenn es einen Beweis für die Theorie Pi = 4 gibt? Sogar ein sehr klarer Beweis!
12 Antworten
Dann nimmt man die Ecken aus dem Quadrat raus sodass des Umfang 4 bleibt. Dies wiederholt man
Dadurch erhälst du eine Folge; eine Folge geometrischer Figuren.
Dies wiederholt man nun in die Unendlichkeit, Unendlich = Perfekter Kreis.
Richtig. Etwas präziser: Der Limes der Folge deiner geometrischen Figuren ist ein Kreis.
Aber der Umfang bleibt 4.
Ebenfalls richtig. Jede Figur aus dieser Folge hat immer den Umfang 4.
Nun die Frage:
Das ist ein Beispiel dafür, dass aus der Konvergenz einer Folge von Linienzügen gegen eine Grenzfigur nicht folgt, dass auch Folge der Längen dieser Linienzüge gegen die Länge (in diesem Fall: Umfang) der Grenzfigur konvergiert.
Die Längen der Linienzüge konvergieren nur dann gegen die Länge (bzw den Umfang) der Grenzfigur, wenn sich diese Linienzüge an die Grenzfigur "anschmiegen"; dh, wenn die Tangenten an die Linienzüge gegen die Tangenten der Grenzfigur streben. Das ist bei deiner Konstruktion nicht so, und darum bekommst du 4 statt π.
Betrachte dagegen die Konstruktion des Archimedes mit den Vielecken. Man sieht sehr deutlich das "anschmiegen". Die Kanten -- deren Verlängerungen eben die Tangenten des Vielecks sind-- sind immer parallel zur entsprechenden Kreistangente, und streben mit wachsender Eckenzahl auf die Kreistangenten zu. Das ist bei deiner Konstruktion nicht so.
Das komische ist aber weiterhin dass der Abstand zum Kreis durch die Unendlichkeit doch unendlich klein ist?
Das ist richtig. Eben deswegen kann man sagen, dass deine Figuren gegen der Krei konvergieren (der Kreis ist die Grenzfigur; das, was bei Zahlenfolgen der Grenzwert ist).
Sollte dann nicht ein Ergebnis kommen welches µ sehr nahe liegt? Ich meine das ist eigentlich schon ein recht großer Unterschied zwischen meinem Ergebnis und Archimedes seinem!
Ich sag ja nicht, dass das leicht zu verstehen wäre. Die Begründung für den Unterschied ist das mit den Tangenten. Im Einzelnen lernt man das an der Uni, wenn man Mathe studiert. Deine Frage geht weit über den Schulstoff hinaus.
also ganz so genau weiß ich das jetzt nicht, aber ich versuch trotzdem mal die frage zu beantworten:
es geht hier offensichtlich darum, den fehler im beweis zu finden. an sich ist aber jede voraussetzung für den falschen schluss richtig, nur der schluss selbst ist falsch.
was genau vom kreis hat man denn angenähert? der beweis basiert darauf, dass man nach dem verfahren eine form bekommt, die aussieht wie ein kreis. dahebn wir es schon! es wird die form angenähert. aber nicht etwa die form des kreisbogens, wie beim einbeschriebenen oder umbeschriebenen n-eck (da wird die der kreisbogen und wohl auch die fläche des kreises angenähert), sondern nur ein gebiet, welches von der fläche her gleich groß ist wie der kreis.
hier liegt eben der fehler. die meisten punkte der annäherung haben einen völlig falschen winkel. man müsste eigentlich alle punkte mit einem ähnlich falschem winkel zum kreis zu einer gruppe zusammenfassen. (das ist genau das, was beim zeichenn eines kreises vom computer passiert, weil wir begrenzt viele pixel haben, sind alle puznkte zwischen 2 pixeln immer bis zur einenhälfte der eine, bis zur anderen hälfte der andere pixel, da es keine bruchteile von pixekn gibt) es geht nämlich um die winkel! fasst man zu solchen gruppen zusammen, wie es beim zeichnen eines kreises mit einer begrenzten genauigkeit wie beim computer geschieht, so könnte man die einzelnen punkte (pixel auf dem bildschirm) zählen. DANN hätte man eine approximation an den umfang. man sieht dass viele der streckenlängen aus der beschriebenen approximation fehlen, da viele "stufen" zu einer einzigen längeren stufe zusammengefasst wurden, also die quer-verschiebungen fehlen.
was man tatsächlich approximiert hat ist die fläche des kreises, da die punkte der approximation immer näher an den bogen herankommen. man müsste mit der obigen approximation also die fläche ausrechnen, anstatt des umfanges. das ist der fehler !
will man die fläche aber bestimmen, merkt man sofort, dass das garnicht so einfach ist das allgemein zu berechnen. ich bin etz auch zu faul dazu, vielleicht liefer ich das mal nach, aber höchstwahrscheinlich nicht, denn es gibt einfachere verfahren zum annähern von pi.
Dein Beweis gilt jedoch nur für dein Konstrukt mit den "Ecken", nicht für einen Kreis, der laut Definition ja eine Linie ist, die zu einem Mittelpunkt M überall den gleichen Abstend hat. Das gilt für dein Konstrukt aber erst, wenn - wie du schon behauptetest - unendlich viele Ecken vorhanden sind. Allerdings sind dann die Längen der Eckwinkel auch unendlich kurz, sprich gleich 0.
Und nun beweise, dass 0 x Unendlich gleich 4 ergibt... ;-)
Dein Beweis gilt jedoch nur für dein Konstrukt mit den "Ecken", nicht für einen Kreis
Du hast nicht verstanden, worum es dabei geht (der Fragesteller hat sich da aber auch etwas ungeschickt ausgedrückt).
Es gibt die Konstruktion von Archimedes zur näherungsweisen Berechnung des Kreisumfangs bzw von pi. Die geht mit Vielecken (auch hier: Ecken!), die gegen den Kreis konvergieren. Daraus kann man näherungsweise pi berechnen (der Grenzwert der Umfänge ist sogar genau gleich pi).
Die Konstruktion des Fragestellers (die er sicher aus einer Zeitung oder aus dem Internet hat) konvergiert auch gegen den Kreis. Aber hier ergibt sich nicht pi, sondern 4. --- Die Frage ist: wieso?
Warum stimmt die Konstruktion von Archimedes, aber nicht die des Fragestellers? - Darum geht's (-->Abtwort von notizhelge)
Kreis, der laut Definition ja eine Linie ist, die zu einem Mittelpunkt M überall den gleichen Abstend hat. Das gilt für dein Konstrukt aber erst, wenn - wie du schon behauptetest - unendlich viele Ecken vorhanden sind.
Das gilt für die Konstruktion nie, denn "unendlich viele Ecken" können nicht konstruiert werden. Aber: Der Limes dieser Konstruktion ist ein Kreis. Das ist der Punkt.
Auch für die Konstruktion von Archimedes mit den Vielecken gilt: Die Vielecke sind nie Kreise und haben nie "unendlich viele Ecken". Aber: Der Limes dieser Konstruktion ist ein Kreis.
Allerdings sind dann die Längen der Eckwinkel auch unendlich kurz,
"Unendlich kurz" wird ebensowenig erreicht wie "unendlich viele Ecken". Nicht mit dem Begriff "unendlich" schludern!
Und nun beweise, dass 0 x Unendlich gleich 4 ergibt... ;-)
Das hat genau gar nichts damit zu tun.
Schau dir an, was ein "Limes" ("Grenzwert" bzw "Grenzkurve") ist. Darum geht es hier.
Sorry, aber du hast leider nicht verstanden, worum es mir geht... ;-)
Dass Pi=3,14etc. ist und der Kreis mathematisch als Grenzfunktion verstanden werden kann, ist unumstritten und braucht auf dieser Platform nicht diskutiert werden.
Der "Fragesteller" ist entweder wiklich so naiv und glaubt dem Scheinbeweis für Pi=4, wie er auf diversen I-Net-Seiten (zumeist aus Jux) kolpotiert wird (z.B. bei "Sateffen's Blog" - http://sateffen.bplaced.net/mathematik/pi-ist-gleich-4.html), oder (was ich eher glaube),
er will einfach nur provozieren (aus welchen Gründen auch immer), indem er einen schludrigen "Beweis" anführt, der lediglich an einen oberflächlich, naiven Haus- aber nicht an den mathematischen Verstand apelliert. Ein gesunder Hausverstand hätte kein Problem damit, dass die Nachprüfung von Pi mit einer Schnur um ein kreisrundes Gebilde ein eindeutiges und jederzeit wiederholbares - richtiges! - Ergebnis für Pi ergibt und niemals "4"...
Du liegst leider total falsch. Ich wollte nur wissen warum es nicht stimmt. Ich meine ich bin 16 und finde so was, mit meinen Kenntnissen erscheint es mir logisch aber ich weiß ja dass es nicht sein kann. Deswegen habe ich jemanden gesucht der mir sagen kann was an der Theorie falsch ist. Nach dem meine 2 Mathelehrer und mein Physiklehrer total versagt hatten dachte ich mir dass ist mal ne gute Frage :D
Tut mir leid wegen meiner Unterstellung. Aussagen wie: "bescheuertes 3,14 Dings" oder "Ihr wollt alle nur nicht akzeptieren dass die Welt Ewigkeiten dass falsche gerechnet hat xD." lassen mich halt an der Ernsthaftigkeit der Fragestellung zweifeln...
Wenn du "nur wissen willst, warum das nicht stimmt", dann teile uns das doch einfach genau so mit... das nächste Mal... ;-)
Ich muss ja den anderen zeigen dass die Theorie für mich absolut Sinn ergeben hat, ich meine ich habe noch nicht mal viel mit µ gerechnet ^^
Naja, guter Tipp an alle: Wenn ihr keine Lust auf mathe habt gebt eurem Lehrer die Aufgabe und ihr könnt die Stunde schlafen während er mit der ganzen Klasse versucht den Fehler zu finden!
Der "Beweis" hat den Haken, dass mit deiner beschriebenen Methode kein wirklicher Kreis erzeugt wird. Es sieht wohl wie ein ein Kreis aus von weitem, hat aber in Wirklichkeit ja ganz viele 90° Winkel. Ist so ähnlich wie eine Küstenlinie: Von weitem (auf einer Karte) sieht die Küste garnicht lang aus; wenn man sie aber entlang geht, ist sie länger, da es viele kleine Ausbuchtungen gibt. Genau so funktioniert dieser "Beweis". Von weitem denkt man, dieser kunstruierte Kreis hat den Umfang eines Kreises (also eig 3,14); von nahem sieht man aber die ganzen Winkel und kommt auf einem Umfang von 4.
Vielleicht konnte ich den Fehler in dem Beweis klar machen.
absolut richtig :)
Das gleiche Problem gibt es auch mit dem Prinzip von Cavalieri:
Durch dieses Verfahren wird das Volumen von Körpern approximiert, aber nicht die Oberfläche. Deswegen funktioniert das Prinzip auch nur zur Bestimmung von Volumina (z.B. auch einer Kugel).
Die Fläche des Kreises ist mathematisch nichts anderes als sein "zweidimensionales Volumen", welches man mit der beschriebenen Methode vom Fragesteller ermitteln kann, woraus sich dann auch der richtige Wert für Pi ergeben würde. Das gilt aber eben nicht für den Umfang des Kreises (seine "zweidimensionale Oberfläche"), genau aus den Gründen, die du ja schon geschildert hast :)
Fand ich einfach nur mal interessant noch hinzuzufügen
Häh?
Mach es doch einfach so, wie es schon im alten Griechenland gemacht wurde. Du wickelts ein Stück Seil um den perfekten Kreis mit dem Durchmesser 1 und misst dann die Länge dieses Seiles ab. Dann wirst du dich ziemlich nahe an der richtigen Zahl Pi befinden.
Überleg es dir doch auch einmal anders: Ein Kreis mit Durchmesser 1 passt in ein Quadrat mit der Kantenlänge 1. Der Umfang des Quadrats ist dann 4. Der Kreis muss einen kleineren Umfang haben, da er nicht alle Punkte der Quadratkanten berührt.
Überleg es dir doch auch einmal anders: Ein Kreis mit Durchmesser 1 passt in ein Quadrat mit der Kantenlänge 1. Der Umfang des Quadrats ist dann 4. Der Kreis muss einen kleineren Umfang haben, da er nicht alle Punkte der Quadratkanten berührt.
Beste Begründung! Braucht man nicht einmal ein Seil für.
Also erst mal danke, eine der ersten vernünftigen Antworten hier. Das komische ist aber weiterhin dass der Abstand zum Kreis durch die Unendlichkeit doch unendlich klein ist? Sollte dann nicht ein Ergebnis kommen welches µ sehr nahe liegt? Ich meine das ist eigentlich schon ein recht großer Unterschied zwischen meinem Ergebnis und Archimedes seinem!