warum sollte da denn ein minus stehen? die formel stimmt. wenn du das nachdifferenzieren nicht vergisst, so kommt beim ableiten der stammfunktion durch den exponenten -2 und durch das -x der inneren funktion jeweils ein minus zustande. insgesamt also ein plus, genau wie bei deinem f(x).

tatsächlich wäre auch der von dir angegebene wahrscheinlichkeitsraum möglich. zu einem "wahrschienlichkeitsraum" gehören streng genommen noch 2 weitere dinge als die menge aller elementarereignisse. das eine werde ich nicht nennen, es würde nur verwirren. das andere ist das wahrscheinlichkeitsmaß.

in deinem Omega sind 21 elementarereignisse. diese reichen auch völlig aus um die frage nach einem "pasch" eindeutig beantworten zu können. allerdings verkomplizierst du dabei dein wahrscheinlichkeitsmaß.

wie hoch ist denn die wahrscheinlichkeit {1,1} zu würfeln (einen 1er pasch) ?

wie hoch ist denn die wahrscheinlichkeit {1,2} zu würfeln? (ungeachtet der reihenfolge)

kennst du das spiel "die siedler von catan"? da sind die zahlen 6,8 meistens farbig hervorgehoben und die 7 hat gar eine spezielle rolle. das liegt daran, dass die augensumme von diesen zahlen wahrscheinlicher ist. das liegt daran, dass es mehrere möglichkeiten gibt die 7 als summe zu bekommen. viel mehr möglichkeiten als es für die summen 2 oder 12 gibt.

hier ist es genauso. es gibt mehrere möglichkeiten {1,2} zu würfeln. die beiden würfel beeinflussen sich nicht gegenseitig. es kann der erste würfel 1 geben, der zweite 2 ODER umgekehrt. das ist eine möglichkeit mehr als für {1,1} möglich ist, da das vertauschen der reihenfolge kein neues ereignis ergibt.

berechnen wir einmal die wahrscheinlichkeit für ein paar ereignisse:

P({1,1})=1/6*1/6, da jeder würfel nur 1 bestimmte von 6 zahlen zeigen darf.

für unterschiedliche a,b von 1 bis 6 gilt:

P({a,b})=1/6*1/6+1/6*1/6, weil entweder der erste würfel "a" zeigt, der andere "b" zeigt oder umgekehrt. in beiden fällen hat jeder würfel nur genau 1 möglichkeit. wir bekommen also die doppelte wahrscheinlichkeit.

ein kurzer test:

6 päsche und 15 nicht-päsche haben also zusammen die wahrscheinlichkeiten 6mal 1/36 und 15mal 2/36 ist zusammen 36/36=1. macht sinn.

wie haben wir die wahrscheinlichkeiten eigentlich im detail ausgerechnet??? wir haben uns das überlegt aus der annahme, dass jede zahl je würfel gleichwahrscheinlich ist. stichwort: "laplace experiment".

für den wurf zweier würfel auf einmal haben wir so in einem ereignisraum ohne beachtung der reihenfolge ein wahrscheinlichkeitsmaß berechnet, welches jedoch NICHT für jedes elementarereignis dieselbe wahrscheinlichkeit berechnet.

was dein lehrer wollte ist:

die überlegung vom laplace-experiment eines einzelnen würfels auf zwei würfel zu übertragen. er beachtet demnach die reihenfolge, weil er die zuordnung der zahlen zu den jeweiligen würfeln braucht, weil er die jeweiligen würfel braucht um das "laplace-experiment" ausnutzen zu können.

dann hat er MIT reihenfolge 36 elementarereignisse, dafür aber ein sehr einfaches wahrscheinlichkeits maß. jedes elementarereignis habe einfach die wahrschienlichkeit 1/36, da ja alle elementarereignisse als gleich VORAUSGESETZT wurden.

daher kommt dann auch die formel P(A)=|A| / |Omega|, weil bei einem Laplace-experiment durch einfaches zählen der möglichkeiten um A zu erfüllen dividiert durch die gesamtzahl an möglichen elementarereignissen die wahrscheinlichkeit gegeben ist.

Um eben diese einfach formel nutzen zu können, lohnt es sich oftmals den raum Omega größer als nötig zu wählen.

dennoch war auch dein Omega zielführend, solange du dein wahrschienlichkeitsmaßs P richtig wählst. wie du siehst musste ich mir das mit produkten 1/6*1/6 etc... überlegen. dabei habe ich die beiden würfel eigentlich auch aufgeteilt in einzelne würfe, so wie dein lehrer. dies hat sich aber im P wiedergespiegelt statt im Omega.

meines wissens nach gibt es keine "schlaue" matlab funktion fürs ableiten. ich kann dir auch erklären warum ich das sinnvoll finde.

matlab kann NICHT integrieren oder ableiten, sondern beides nur numerisch approximieren. du kannstmit matlab ja auch nicht die stammfunktion bilden (ungefähr das umgekehrte zum ableiten). jedoch ist die "flächenbilanz" (so hieß das glaube ich in der schule) ja keine funktion, sondern nur eine approximation an die flächen, die der graph mit der x-achse einschließt. das ist also eher wenig information. die stammfunktion, mit der du selbstverständlich auch an den integral-wert kommst, ist sehr viel information. das wirst du numerisch nicht gut hinbekommen. das muss man annähern. ebenso muss man die ableitung annähern.

warum ist das annähern dieser speziellen funktionen (stammfunktion, ableitungsfunktion) so schwierig?

zur approximation müssen meist mehrere informationen der eigentlichen funktion benutzt werden, z.B. 2 stützstellen der funktion um die sekantensteigung zu berechnen, welche die ableitung approximiert. dann hat aber der linke endpunkt deines intervalls nur einen rechten nachbarn, der rechte endpunkt deines intervalls nur einen linken nachbarn. man kann also schonmal nicht denselben differenzenquotient für alle punkte, an denen die ableitung gesucht ist, berechnen, außer du hast unendlich lange intervalle.

es gibt viele verschiedene methoden die ableitung zu approximieren, und es ist nie klar ob diese methode für dein spezielles problem angemessen ist.

weiterhin ist ableiten numerisch sehr schwer, da man eine kleine zahl (im nenner, differenz zweier ähnlich-großer funktionswerte, f(x)-f(x0)) durch eine kleine zahl (abstand der stützstellen, x-x0) teilt. dabei kann einiges schief gehen. stichwort: auslöschung.

dagegen ist beim integrieren (nicht stammfunktion bilden) die theorie sehr gut und numerisch gut umsetzbar.

bei den komplizierteren aufgaben muss man eben problem-angepasst programmieren. es ist wohl nicht möglich eine "schlaue" ableitungsfunktion zu programmieren.

dennoch gibt es "einfache" möglichkeiten, die den meisten nutzern schon genügen würden:

du musst nur etwas in der art machen:

angenommen du hast einen vektor mit den stützstellen, zB X=[0:0.1:1] und einen weitere vektor mit den zugehörigen funktionswerten, zB F=[1:-0.1:0], das ergäbe die funktion f(x)=-x+1 auf dem intervall [0,1]. dann bildest du den differenzenquotient mit hilfe von diff:

diff(F)/diff(X)

dabei macht diff die differenzen aufeinanderfolgender elemente, also diff([0,1,2]) = [1,1].

beachte, dass hierbei, da die 2 keinen rechten nachbarn mehr hat, das ergebnis eins kürzer ist als das argument.

mit obigen X und F ergäbe das näherungsweise die ableitung (ist -1, hier sogar exakt, weil die funktion nur linear ist)  auf dem intervallk [0.1,1]. die 0 fehlt, da sie mit dem nachbarn 0.1 zusammen nur einen datenpunkt für die ableitung liefert.

wenn du nun funktionen hast mit handles, dann hast du kein beschränktes intervall, kannst also immer den rechten nachbarn finden. allerdings kannst du keinen unendlich langen vektor aufbauen! du kannst das dann nur stückweise und damit leider auch erstmal mit einer for-schleife, solange dir nichts klügeres einfällt um die ableitung für alle gewählten stücke zu berechnen. dies ist in matlab sehr langsam, wohl ein weiterer grund warum keine "schlaue" ableitungsfunktion existiert. es gibt einfach probleme mit dem unendlich langen intervall.

die grundlegende formel für dich ist dann

(f(x)-f(x-dx))/dx,

wobei x ein punkt ist, dx ein abstand zum (hier) linken nachbarn (so wird die ableitung am punkt x mit rückwärts-gerichtetem differenzenquotienten approximiert, was standard ist).

wenn du das vektorisiert machen möchtest, also nicht für jeden punkt einzeln, dann muss deine funktion definiert sein, sodass sie mit vektor-eingaben klar kommt, zB f=@(x) x.^2 wäre x^2 mit komponentenweisem ^. dann ist f([0,2]) = [0,4] wieder ein vektor mit den entsprechenden ergebnissen. dann kann man wieder mit diff arbeiten:

diff(f([...])./diff([...]), wobei natürlich beide male das [...] derselbe vektor sein soll. dann hast du aber wieder auf einem beschränkten intervall die ableitung, also auf einer menge von punkten. die ableitungsfunktion selbst wirst du nie erhalten.

ich hoffe ich habe dir verständlich gemacht, warum du den befehl selber schreiben musst!

ich habe nicht jede antwort durchgelesen, das wäre einfach zu viel aufwand gewesen. ich las aber dauernd argumente im zusammenhang mit der schule. als mathematiker möchte ich dabei klar stellen, dass der einzige grund, warum menschen mathematik oftmals nicht beherrschen ein mangel an übung ist. einer meiner professoren meinte immer, dasss man für mathematik talent oder fleiß braucht. also entweder fällt einem das logische schließen von vornherein leicht, dann hat man eben glück gehabt, oder man muss hart arbeiten, dann kann man es auch lernen. dies zeigt den unterschied an, wie viel übung ein individuum benötigt. manche verstehen schneller, manche langsamer. das ist klar, das ist überall so. das ist nichts neues. jedoch sagt diese redewendung auch, dass gerade in mathematik ein enorm hoher fleiß benötigt wird, dass man eventuell nur durch talent, falls der fleiß nicht ausreicht, die mathematik verstehen könnte.

im mathematikstudium geht es keineswegs um rechnen, was man in der schule lernt. jedoch fängt man beim studium ganz von vorne an. man lernt dann erstmal, dass es natürliche zahlen gibt und baut ssich daraus rationale und reelle zahlen. man lernt beweismethoden und folgen und reihen und erst dann lernt man üblicherweise was stetigkeit bedeutet (das was man in der schule nie so richtig erklärt bekommen hat). im zuge der stetigkeit lernt man auch grenzwerte von funktionen zu bestimmen (was man vorher bei folgen bereits eingeübt hat). man könnte sagen, dass dies der erste zeitpunkt ist, an dem man mit dem uni-stoff den schulstoff eingeholt hat. vorher wusste man im grund garnichts. man kann noch nicht mal ableiten und man darf es auch nicht! am ende des 1. semesters lernt man dann doch auch noch ableiten. aber man hat im grunde nie gelernt zu rechnen. man leitet stattdessen z.B. die produktregel her. die übungsaufgaben sind dann so gestellt, dass man die produktregel benötigt um eine andere sache zu beweisen. man muss die produktregel aber selbst anwenden ohne hilfe der vorlesung. in der schule muss man 7265983746592 ableitungs-hausaufgaben lösen und fragt das im unterricht auch ab. sowas fehlt in der mathematik. man lernt nur die gesetze. das rechnen folgt ja sofort aus der formel. was man also in der schule lernt, wäre hilfreich, damit man nicht doch am rechnen scheitert, jedoch scheitern die studenten normalerweise an den beweisen, statt den rechnungen. da dies, wie erwähnt, kein bestandteil der schule ist, ist es auch gewiss möglich als jemand, der nur 4er in mathe schreibt, ein mathematikstudium erfolgreich abzuschließen, solange er nur genug fleiß hat (talent wird so jemand vmtl. nicht haben, sonst hätte er ja wenigstens rechnen können müssen. das kann man aber auch nicht so pauschal sagen.)

meine eigentliche kurze aussage ist:

mehr fleiß, dann wirds auch was. das mathematikstudium fängt von vorne an. rechnen zu können wäre hilfreich, aber nicht notwendig. mit der schule hat das alles nichts zu tun. wer kein talent hat, muss eben mehr fleiß haben. auch leute mit talent brauchen dabei mehrere tage für die hausaufgaben. leute, die einen tag vorher anfangen, dann scheitern, und dann alles abschreiben, fallen durch.

das "vorletzte" VOM "vorvorletzten" macht ohnehin schon keinen sinn, da sich der begriff "vorletzte" auf "letztes" bezieht, also nicht gleichzeitig auch im zusammenhang mit dem "vorvorletzten" stehen kann.

möchte ich einen sinn in diesen kaputten satz hineinzwingen, so gilt, dass "vorvorletzter"="letzter". insbesondere gilt, wie schon andere angemerkt haben, dass "letztes"!="letztes" (!= ist das ungleichzeichen).

demnach ist dies alles voller widersprüche."vorvorletzter=letzter" ergibt sowas wie "x-2=x", oder äquivalent "1=0", was in einem mathematischen körper nicht geht. man erhält den null-ring, d.h. alle zahlen sind gleich. es gäbe also 0 geschenke von vornherein. außerdem gelte nun aber, dass "letztes!=letztes", also "0!=0", was ein widerspruch ist.

wenn ich dies aber als gegeben annehme "was wäre wenn?", so erhalte ich also ein widersprüchliches system, weshalb jede antwortmöglichkeit richtig ist.

es gilt: alles ist identisch 0, aber 0 gibt es gleichzeitig trotzdem nicht. die einzige möglichkeit an dem problem herumzukommen ist zu behaupten, dass geschenke generell nicht existieren, d.h. nicht 0 geschenke, sondern "geschenke" ist nicht definiert. dann sprechen wir von der leeren menge. alle elemente erfüllen die obigen widersprüchlichen kriterien, da es kein element an sich gibt. d.h. der widerspruch taucht garnicht erst auf.

damit ist die antwort.

"was zum teufel sind geschenke? das gibt es nicht!"

wenn das wirklich mit mathematik in verbindung stehen soll, dann ist das nur ein name.

so wie f(x)=x^2. da ist x ein name für die variable der funktion, oder in y=mx+t, so ist t der name für den y-achsen-abschnitt, etc...

C wird oft für konstanten (englisch: constant) verwendet, und wenn es mehrere konstanten gibt, die aber nur mathematische bedeutung haben, also keinen von der physik motivierten namen besitzen, nennt man all diese zahlen ähnlich.

etwa C1, C2, C2, ... oder eben Cdach (ich will jetzt nicht suchen wie man das hier schreibt mit einem dach darüber), Ctilde, Cstrich, etc...

das dach an sich hat keine konventionelle mathematische bedeutung, vielleicht wurde im kontext trotzdem eine bedeutung definiert. ich denke aber, dass das nur ein name für eine zahl ist.

die funktion x^x ist für positive reelle zahlen definiert. für x=0 oder gar negative reelle zahlen ist sie nicht definiert. (man kann das wohl irgendwie für komplexe zahlen erweitern, aber das ist hier irrelevant)

den wert 0^0 gibt es nicht, aber es gibt die eindeutige stetige fortsetzung von x^x auf die nicht-negativen reellen zahlen (also alle positive wie vorher, aber nun zusätzlich auch die 0). das bedeutet nicht, dass nun 0^0 berechnet wurde. keiner sagt, dass man 0^0 sinnvoll beschreiben kann durch eine STETIGE fortsetzung von x^x. alles was ich sage ist:

WENN man des stetig fortsetzt, warum auch immer (das ist in der tat sehr sinnvoll, aber das ist eine andere geschichte), DANN ist "0^0" = 1 oder genauer:

limes bei (x->0+) von x^x = 1

es hat aber auch keiner behauptet, dass man x^x fortsetzen muss!

was ist, wenn man 0^x fortsetzt oder x^0 fortsetzt? offenbar erhält man dann auch ergebnisse, die voneinander abweichen. garnicht auszudenken, was passiert, wenn man f(x)^g(x) fortsetzt, wobei f und g funktionen sind, die für x->0 gegen 0 konvergieren...

weil deine funktion y heißt. du berechnest also auch die stellen y, an denen f(y)=0 ist. wie in deinem text. y nimmt hier die rolle des arguments einer funktion an.

ich denke, du hast noch nicht ganz verstanden, was das phasenportrait ist.

die y-achse, welche so heißt, weil diene funktion auch y heißt, ist der raum der punkte, die deine funktion y annehmen kann. wäre man an einem dieser punkte, zB y=1, dann gilt y'=f(y)=f(1). also auf der y-achse befindest du dich nun bei y=1, und dann zeichnest du einen pfeil in die richtung, in die f(1) zeigt. denn f(1) ist die ableitung, d.h. die änderung deiner funktion y. wenn du bei y=1 warst, dann zeichnest du mit f(1) also die änderung deiner funktion y an die stelle y=1 heran. damit kannst du ablesen, wie sich deine lösung y verhält, wenn du bei y=1 warst, weil du sozusagen einen kleinen schritt weiter in richtung der ableitung einen pfeil zeichnest.

du hast so wie es scheint auch nur genau eine achse. der ganze vorgang kann von x, oder physikalisch motiviert oft auch t (die zeit) abhängen. man zeichnet hier aber nicht eine lösungsfunktion y in abhängigkeit von t (also 2 achsen) ein, sondern für jeden "anfangswert" y0 den daraus resultierenden verlauf deiner lösung unabhängig vom genauen zeitpunkt. stell dir das vor wie eine kugel, die ein gefälle runterrollt. du schaust von oben drauf und die zeit ist die egal. du willst nur wissen, wohin die kugel rollen wird. also machst du einen pfeil. (also nur eine achse, weil die zeit nicht interessiert)

ohje... da fehlen aber einige wichtige grundlagen der mathematik!

beim integrieren sucht man nicht eine ableitung, sondern eine stammfunktion, was so ähnlich ist wie das gegenteil von ableiten.

des weiteren gehört das dv zum integral. der integrand allein lautet 1/v.

nun sollte deine frage eigentlich lauten: ist die stammfunktion von 1/v der ln(v)?

dies ist richtig, wie man in der schule bereits gelernt hat, aber auch mit der formel für die ableitung der umkehrfunktion leicht herleiten kann, wenn man weiß, dass die ableitung von e^v wieder e^v ist.

mir fehlt die einfache mathematische perspektive:

warum gerade jetzt leben? wenn du annimmst, dass die chance dafür 1:137Mio. ist - das hast du angenommen, weil es aus nichts gefolgt ist -, dann wirst du ohne zweifel, wegen der zeitlosigkeit deiner frage, implizit auch angenommen haben, dass die wahrscheinlichkeitsverteilung für dein zufallsexperiment die gleichverteilung ist. ich erwarte jetzt nicht, dass du jeden der begriffe verstehst, aber was ich sagen will ist:

deine "errechnete" chance basiert auf einer gleichverteilung. diese sagt bereits dem namen nach, aber auch mathematisch anhand ihrer definition, dass es zu jedem zeitpunkt gleichwahrscheinlich ist, zu leben.

ein einfacheres beispiel:

du wirfst 10mal eine münze. dabei fällt bei einigen würfen kopf, sagen wir mal das 2.,3.,4. und 10. mal. du stellst dir die frage, warum gerade bei diesen würfen kopf fällt. die antwort: jede andere konfiguration der verschiedenen ergebnisse war gleichwahrscheinlich!

es ist auch jede serie an lottozahlen gleichwahrscheinlich. sich dann zu fragen: warum knacke ich nie den jackpot, oder als gewinner zu fragen, warum man den jackpot geknackt hat, ist keine sinnvolle frage. die eigentliche frage ist: wie wahrscheinlich ist das gewesen UND wie wahrscheinlich war es, dass es anders gelaufen wäre? die antwort: alles gleichwahrscheinlich! es ist nichts besonderes im sinne der wahrscheinlichkeit die lottozahlen zu treffen im vergleich dazu sie nicht zu treffen. nun der jackpot allerdings ist schon etwas besonderes, hat aber nichts mehr mit dem zufallsexperiment zu tun. jede ziehung ist gleichwahrscheinlich. daran ist nichts besonderes!

falls mathematik überhaupt die richtige wahl für dich ist, dann konzentrier dich nur auf mathe. alles nicht-mathematische wird dann automatisch trivial, da es um einiges leichter als mathematik sein wird. da du aber japanologie gewählt hast, musst du auch gut "auswendig" lernen können. das ist etwas was ich garnicht kann. demnach könnte ich dein doppelstudium niemals bestehen. ich kenne aber sehr viele mathematik-kollegen an meiner uni (komme ins 9te semester, 3tes im master), welche über alles andere als mathematik nur scherzen können.die reinste entspannung!

der fokus liegt also auf mathematik, aber ich würde abraten die woche im voraus durchzuplanen. es ist viel mehr so:

du arbeitest an einer hausaufgabe in mathematik und kommst nicht weiter. in 30min kommst du immer noch nicht weiter.... du kannst es nicht erzwingen. manchmal muss man auf inspiration für die richtige idee warten. vielleicht brauchst du für die hausaufgabe insgesamt nur 15 minuten zum bearbeiten, dafür aber aufgeteilt auf die ganze woche. 5min die angabe lesen und nichts kapieren. 5min ausprobieren und nichts hinkriegen, und 5min dann die idee, die einfach so plötzlich eingefallen ist, aufschreiben und die aufgabe fertig bearbeiten. bei schweren aufgaben kann es auch durchaus mal sein, dass du mehrere stunden brauchst, aber auch wieder verteilt auf mehrere tage. der größte fehler, den ein mathematik-student machen kann, der nicht für das studium geeignet ist, es aber trotzdem versuchen will, ist das bearbeiten der aufgaben so kurz und knapp wie möglich vor der abgabe. dann ist keine zeit um inspiration zu sammeln und man endet damit die hausaufgaben nur immer abzuschreiben. auf lange sicht wird man vermutlich das studium abbrechen.

du kannst nun immer, wenn du mal auf inspiration warten musst, dich um japanologie kümmern. so würde ich das machen.

vergiss nicht, dass deine nebenfächer informatik und physik auch anspruchsvoll sind. nicht so sehr wie mathematik, aber besonders informatik kann sehr zeitaufwändig sein, wenn man nicht schon mit 12 jahren in der schule 10 programmiersprachen beherrschte. ich weiß, dass das studium nicht nur aus programmieren besteht, aber wenn man für eine aufgabe einmal nur ganz kur einen einzeiler schreiben muss, aber 2 tage braucht um den compiler zu installieren. dann ist das mies. (das ist zwar übertrieben, aber so ungefähr das was mir immer passiert) es gibt aber auch informatik-fächer die überhaupt gar nicht anspruchsvoll sind und überhaupt gar nicht zeitaufwändig, falls man gut in algebra ist!

such dir für so kleine problemchen einfach ein paar leute, die sich gut auskennen und dir helfen können. es ist immer eine gute idee im computerraum vorbeizuschauen.

das sind eben charakterisierungen von funktionen. je mehjr "eigenschaften" eine funktion hat, desto mehr kann man damit auch anstellen.

mit einer injektiven funktion kannst du zB eine äquivalenzumformung machen. deshalb darfst du zum gleichungen lösen auch den logarithmus und die exponentialfunktion verwenden.

beispiel: e^x = 1 <=> log(e^x) = log(1) <=> x=0

dafür braucht man KEINE bijektive funktion, aber das ist auch nicht verweunderlich, da injektive funktionen leicht als bijektive funktionen aufgefasst werden können, wenn man den zielraum der funktion der wertemenge gleichsetzt.

surjektive funktionen sind wichtig für lösbarkeit von gleichungen. wenn eine funktion f surjektiv ist, dann kann man für jedes a die gleichung f(x)=a lösen. (evtl. gibt es mehrere lösungen, da die injektivität fehlt)

beispiel: sin(x) * x = pi/2 hat garantiert eine lösung, evtl. sogar mehrere, da diese funktion für x gegen unendlich mit immer größer werdender amplitude oszilliert, also sowohl beliebig groß als auch belibig klein wird. zudem ist sie stetig, es gibt also alle werte zwischen den "großen" und "kleinen" werten auch. (ich meine die punkte in der mimmtte zwischen 2 aufeinanderfolgenden extrema (je ein maximum und minimum))

die lösungen sind natürlich nicht so einfach zu bestimmen... man kann auch keine äquivalenzumformung machen (da sin(x) nicht injektiv ist).

was besseres ist mir für schüler nicht eingefallen...

für sowas solltest du LaTeX verwenden, aber das nun extra für die facharbeit zu lernen ist geschmackssache.

andererseits:

hattest du nicht gesagt, dass alles "stimmt", wenn du es in eine eigene zeile packst? das ist gewollt so. im fließtext sehen mathe-formeln GEWOLLT (auchin LaTeX) anders aus als in alleine-stehenden formeln.

lade dir einfach mal einen mathematischen artikel herunter.

es gilt folgende richtlinie:

- ist es eine größere mathematische formel? => eigene zeile und zentrieren

- ist es im fließtext? => schreibe es mit möglichst kleiner "höhe", damit es nicht so schlecht aussieht, wenn zwischen den text-zeichen so viel platz oben und unten ist.

=> versuche es auch einfach mal zu akzeptieren. wenn du viele mathematische texte gelesen hast, wirst du plötzlich mit diesem verhalten total übereinstimmen, da es die lesbarkeit eines textes dieser art deutlich steigert.

-> ob man das nun mit dem formeleditor trotzdem hinkriegen kann oder nicht, weiß ich nicht, aber das ist auch explizit nicht gewünscht.

falls du dich nicht überzeugen lässt:

schreib in ein anderes dokument das zeichen richtig und mache ein bild davon. das bild kannst du dann in dein eigentliches dokument einfügen. das sieht dann aber noch besch**sener aus.

es gibt im mathematikstudium durchaus auch "rechenaufgaben", wobei die rechnungen deutlich schwieriger sind als in der schule.

hauptsächlich gibt es aber nur beweise. wenn du in der schule schonmal erfolgreich an einem mathematik-wettbewerb (nicht logik, sondenr mathematik, also "mathematik-olympiade", aber kein "känguruh-wettbewerb") teilgenommen hast, dann solltest du geeignet sein. ansonsten gibt es keine kriterien, die meiner meinung nach den erfolg garantieren könnten.

man stellt dir folgende aufgabe, welche mit 2 total wichtigen elementaren grundlegenden sätzen zur stetigkeit beweisbar sind: (1. frage. was ist eigentlich stetigkeit?)

betrachte eine kugel im R^2 und eine stetige funktion f, die auf der kugel definiert ist und nach R abbildet (R = reelle zahlen). beweisen sie, dass es dann 2 gegenüberliegende punkte x1,x2 gibt, sodass f(x1)=f(x2).

etwas "anschaulicher" formuliert: nehmen sie an, dass die verteilung der temperatur auf der erde stetig ist. Zeigen sie, dass es dann 2 gegenüberliegende punkte gibt mit gleicher temperatur.

das kann maneinfach lösen, was du hier aber noch nicht verstehen würdest. du hast noch nicht gelernt, was stetigkeit wirklich bedeutet. man kann die aufgabe noch sehr stark verallgemeinern.

sei V ein endlich-dimensionaler vektorraum und M eine beschränkte menge. sei f eine stetig funktion auf dem rand von M (der rand von M verallgemeinert also die form der kugel von vorhin). sei weiterhin g eine stetige funktion, welche bijektiv vom rand von M auf sich selbst abbildet (erweitert definition eines gegenüberliegenden punktes). dann gibt es 1 punkt x, sodass f(x)=f(g(x)). (dabei sind x und g(x) gegenüberliegende punkte)

man kann das noch mehr verallgemeinern, sodass der "sinn" eines gegenüberliegenden punktes noch deutlich verfälscht wird, die aussage aber immer noch stimmt.

wenn du auf diese art und weise abstrahieren kannst, dann bestehst du das mathe-studium garantiert.

ALLERDINGS:

du studierst ja nicht mathe. deine mathematik für ingenieure sollte deutlich einfacher sein. es kann sein, dass du grundlagenvorlesungen wie anaIysis und lineare algebra auf mathematiker-niveau hören musst, aber danach hört es auch schon auf. es gibt nochmal einen deutlichen unterschied zwischen "uni-mathematik in naturwissenschaften o.Ä" und "uni-mathematik im mathematik-studium".

beispiel:

betrachte die folge der zahlen a(n)=1/n, d.h. (1,0.5,0,25.0.125,....)

diese zahlen werden immer näher gegen die 0 gehen, sind aber stets ungleich 0. TROTZDEM, ist der grenzwert 0. deswegen heißt es ja grenzwert, damit sind die hälfte der bisherigen aussagen in den antworten anderer user völliger blödsinn. gerade deshalb heißt ein grenzwert ja grenzwert, weil es um einen GRENZfall geht. erst im "grenzfall" ist obige folge bei der 0, aber dann IST sie es auch tatsächlich.

 zuerst muss man definieren, wie man den unterschied zwischen den größer werdenden kreisen (eine folge von größer werdenden radien ist nötig, denn nur mit einer folge kommt man ins unendliche durch grenzwertbetrachtung) und einer geraden misst.

hier ein paar möglichkeiten:

möglichkeit 1:

eine kurve nähert sich einer geraden an, wenn an jedem punkt der kurve die krümmung gegen 0 geht. PROBLEM: ein unendlich großer kreis enthält auch punkte auf einer "unendlich" weit entfernten kreislinie, d.h. die punkte des kreises selbst sind auch nur noch im unendlichen, existieren im grenzfall also nicht. man kann also nicht die krümmung messen.

modifikation: betrachte die folge von halb-kreisen, die mittelpunkt beim punkt (0,r) haben und radius r und die untere hälfte betrachtet wird. dann konvergieren die punkte des halbkreises tatsächlich gegen punkte auf der horizontalen geraden. (ich halte dabei offen auf welche art und weise das geschieht)

frage: ist das noch ein kreis mit unendlichem radius? im unendlichen ist der mittelpunkt ja ganz verschwunden... das ist dann definitionssache.

möglichkeit 2:

man gibt eine spezielle gerade vor, der man sich annähern möchte, so wird ein kreis niemals eine gerade ergeben, da es auch viele punkte gibt, die weit weg von der geraden sind (ein kreis geht ja rund herum)

worauf es letztlich ankommst ist: ein verfahren zum messen des unterschieds aufstellen. erst DANN kann man eine mathematische antwort geben. alles vorherige ist philosophie und kann zu unterschiedlichen meinungen führen, weil unterschiedliche "messungen" des unterschieds zugrunde liegen. so kann man sich nicht verständigen.

zu den in deiner frage genannten möglichkeiten:

2 und 3 sind blödsinn, weil diese beiden vorstellungen sich daran klammern, dass eigenschaften eines objekts aus einer folge von objekten im grenzfall erhalten bleiben, was in wahrheit aber keineswegs richtig ist. (vgl. bsp mit a(n) = 1/n ist immer ungleich 0, aber im grenzfall ist diese eigenschaft verloren). zu 3 speziell: offenbar ist das intervall von -unendlich bis +unendlich eine gerade. die folge von interfvallen der form [-r,r] geht für r->unendlich je nach konzept der "unterschieds-messung" freilich gegen eine gerade. dabei zählt das argument "geht nicht, weil sonst keine (endliche) länge mehr umfasst wird" natürlich nicht. genauso ist es bei kreis und fläche. die fläche die der unendlich große kreis umfasst (im grenzfall) ist eben eine ganze ebene, so wie hier die "länge" eine ganze gerade ist. es gibt also "konzepte" den unterschied zu messen, der diese vorstellung furchtbar dumm erscheinen lässt. eigenschaften von folgen übertragen sich nunnmal NICHT automatisch auf den grenzwert. (es gibt eigenschafte, die sich doch übertragen, aber eben geht das nicht im allgemeinen)

deine möglichkeit 1 wäre anschaulich eine mathematisch richtige art und weise die konvergenz zu erklären, ist aber in der form noch nicht durchführbar, da wie weiter oben in meinem text erwähnt, nicht klar ist, wo die punkte, deren krümmung man messen möchte, hingehen. man könnte aber den kreis in polar-koordianten ausdrücken und die krümmung am schnittpunkt der kreislinie mit einem eingezeichneten winkel messen. der winkel ist dann stets zwischen 0° und 360°, also ist klar, was damit passiert. dann kann manin der tat sagen, dass die krümmungen gegen 0 gehen. das sagt aber leider noch nicht, dass mit dieser anschauung jeder zufrieden ist. ich bin es nicht, da es punkte gibt, die im unendlichen verschwinden, was eigentlich divergenz bedeutet, statt konvergenz. man kann das so sehen: es gibt punkte, die immer näher gegen die gerade gehen (zB untere kreislinie, wie in meiner modifikation oben), aber auch punkte, die sich sehr weit von der geraden entfernen.

und bevor ich es vergess: jmd. hat behauptet, dass 0.999.....periode und 1 nicht dasselbe wären. die beiden zahlen sind aber in der tat IDENTISCH. das ist wie 0.33333periode und 1/3 sind identisch. das sind unterschiedliche darstellungsweisen. bruch und dezimalbruch. kann man ineinander umwandeln. sind beides richtige darstellungen derselben zahl. genauso ist dann auch 0.99999perionde und 9/9 identisch, was zufällig auch 1 ergibt nach kürzen.

die antwort von spiridonk beschreibt genau, was das bedeutet.

ich liefere nun noch einpaar mathematische beispiele:

zur leichteren betrachtung/lösung einer (gewöhnlichen) differentialgleichung möchte man eine gleichung der form d/dt x(t) = f(x(t),t), oft verkürzt als xpunkt (x mit punkt darüber) = f(x,t), z.B. xpunkt = x + t. man sagt dann, dass diese differentialgleichung EXPLIZIT gegeben ist, da sie in der gewünschten form vorliegt, aus der man die eigenschaften/lösung am besten ablesen kann. implizit wäre beispielsweise xpunkt-x = t. das ist natürlich nur einen kleinen schritt von der expliziten darstellung entfernt. es gibt auch andere gleichungen, z.B. e^xpunkt+xpunkt=x. das kann man nie nach xpunkt auflösen. das geht einfach nicht. das ist also implizit.

anderes beispiel von implizit wäre: durch eine eindeutig lösbare differentialgleichung wäre IMPLIZIT eine funktion gegeben. explizit wäre sie, wenn man f(t)=t^2 hätte. genaueres zu einem anwendungsfall: angenommen, du willst etwas simulieren, dann sind häufig die ergebnisse über eine differentialgleichung charakterisiert. nun willst du einen parameter aus der differentialgleichung so wählen, dass am ende irgendetwas optimiert wird. zB du wirfst einen ball in einem winkel alpha nach oben und vorne. ziel ist es, die wurfweite zu optimieren. dann musst du eigentlich ein problem der form "maximiere wurfweite". die wurfweite nenne ich W(alpha), da die weite von alpha abhängt. das ist also eine funktion von alpha. um die wurfweite herauszufinden muss ich den ganzen wurd simulieren, d.h.: in abhängigkeit von der weite, muss ich die höhe berechnen, habe also eine funktion H_alpha(x), da die höhe von dem ort, zu der du die höhe misst, abhängt. davon musst du nun aber noch die nullstelle bestimmen, denn diese entspricht der weite des wurfs. also ist W(alpha) charakterisiert als lösung von H_alpha(x)=0. damit ist also W(alpha) bereits nur implizit über H_alpha(x)=0 gegeben. und H_alpha hängt natürlich vom parameter alpha (der wurf winkel) ab: du verfolgst also den algorithmus: berechne H_alpha,in der regel über eine differentialgleichung, also implizit charakterisiert, bestimme die nullstelle, was nochmal eine implizite charakterisierung einer stelle x ist. dann optimiere das ergebnis noch nach alpha, was zwar ein explizit gestelltes optimierungsproblem ist, aber die funktionen sind nur implizit bekannt, du kannst es also erst lösen, wenn du alles andere schon bestimmt hast. damit ist das problem eigentlich auch nur implizit gegeben, da es von implizit gegebenen größen abhängt.

die beispiele haben beide male was mit differentialgleichungen zu tun, das muss aber nicht so sein. die genaue definition steht ja schon in einem anderen beitrag ;)

reflexivität beweisn ohne zu wissen, was in der menge drin liegt, ist ja gerade der sinn........

du rechnest ja auch nicht für jede kombination aller element-paare (besonders bei unendlich vielen elementen) die eigenschaften nach....

nichts desto trotz wird deine aufgabe viel einfacher, wenn du das symbol als das nimmst, was es bedeutet. das ist KEIN beliebiger bezeichner, sondern ein BESTIMMTER bezeichner für die "mengen-inklusion".

da klar ist, dass X in sich selbst teilmenge ist, also X \subset X (\subset ist latex-symbol für deinen bezeichner), ist die relation also reflexiv.

interessantere aufgabe:

ist es eine ordnungsrelation? (zeige transitivität und antisymmetrie)

ist die ordnung total? (kann man alle dinge miteinander vergleichen? d.h.: (a,b) oder (b,a) für jedes a,b aus P(A) ist in der relation enthalten)

das geht genauso, wie man es auch im dezimalsystem macht.

man macht häufig folgendes:

sei 10010 eine zahl im dualsystem. dann zählen wir 0 * 1 + 1 * 2 + 0 * 4 + 0 * 8 + 1 * 16 = 18

was wir dabei gemacht haben: wir haben, weil wir eben aus gewohnheit im dezimalsystem rechnen die zwischenergebnisse (die einzelnen summanden) bereits im 10er system angegeben bevor wir zusammenzählen.

wollen wir nun das in das oktale system umwandeln rechnen wir wieder im 10er-system:

8^0 = 1, 8^1=0, 8^8=64 , und 64 ist größer als 18, d.h.: wir kümmern uns zuerst um die "8er-stelle" (analog zu 10er-stelle im dezimalsystem). wir rechnen nun 8 * 1 = 8, 8 * 2 = 16, 8 * 3 = 24, und 24 ist bereits zu groß, also haben wir an der 8er-stelle nur eine ziffer 2. dann fehlen uns noch "2" um auf 18 zu kommen. das geht mit einer "2" an der 1er-stelle. => die zahl lautet 22.

all diese rechnungen haben wir aber bereits in einem zahlensystem durchgeführt, nämlich dem 10er-system. das geht aber auch ohne. sowohl das potenzieren als auch das malnehmen lassen sich per definition auf summation zurückführen. und beim addieren von summen addiert man einfach die "ziffern" und guckt, ob man über die grenzen des zahlensystem hinaus-schießt, und damit einen übertrag verzeichnen muss.

beispiel: 7 + 7 = 4 und "1 gemerkt", welches an die nächsthöhere stelle wandert, d.h.: 14

das geht nun auch in allen anderen zahlensystemen. selbes beispiel, also 10010 in dual direkt in oktal:

(dabei gibt es mehrere algorithmen, ich versuche den obigen so genau wie möglich zu kopieren) ich ziehe immer größer werdende 2er-potenzen als dualzahlen von 10010 ab, bis ich gerade noch über der 0 bin. dabei weiß ich aber nicht, ob es diese zahlen in ihrer ziffern-darstellung auch im 8er-system gibt. also spalte ich die zahl in 1er auf. 1 = 1, 2= 1 + 1, 4 = 1+1+1+1 usw.... schnell wird klar, dass der algorithmus nur sinn macht, wenn wir von vornherein nur so lange 1er abziehen und im 8er-system aufaddieren, bis die dualzahl verschwunden ist. schließlich ist ein zahlensystem nichts anderes als eine art und weise die summen von 1+1+1+1...usw anders darzustellen. alle systeme haben eine 1er-stelle.

10010 - 1 = 10011 und 1 gemerkt zum abziehen der nächst-höheren stelle = 10001. im oktalsystem haben wir bereits eine 1. noch ein schritt: 10001 - 1 = 10000. im 8er-system sind wie nun bei 2 angelangt.

das ginge weitaus schneller, wenn wir nicht immer nur "1" abziehen. es ist also sehr sinnvoll zu probieren, ob man nicht auch mal 8 oder z.B.: 20 abziehen kann. z.B.: 8 im dualsystem gleich 1000. ziehe ich das mal ab: 10000 - 1000= 1000. nun muss ich zählen wie viele 1er ich dafür benötigte... das sind nunmal unabhängig davon in welchem system ich dies darstelle 8 mal die 1, oder besser gesagt 1+1+1+1+1+1+1+1. das sind und bleiben "8" in unserem dezimalsystem oder z.B. 20 im 4er-system. die darstellungsart ist egal. es sind "1+1+1+1+1+1+1+1" = zahl vom wert "8" im dezimalsystem. im oktalsystem war ich erst bei 2. nun zähle ich 8mal weiter. und lande bei 3,4,5,6,7,0,1,2, also 2 und "1 gemerkt", also sind wir bei 12. leicht sieht man, dass wir nochmal "8" abziehen müssen, also nochmal "8" im oktalsystem dazu zählen. 3,4,5,6,7,0,1,2 und wieder 1 gemerkt. damit erhalten wir 22.

man rechnet also eigentlich nu mit "plus 1" bzw. "minus 1". man kann aber auch gleich mehrere 1er auf einmal abziehen um alles zu beschleunigen. dafür müssen wir die "anzahl" an 1er aber in worte fassen. dabei müssen wir eine wahl treffen, nämlich "welches system?". da kommt für uns nurdas dezimalsystem in frage, weil wir ständig darin rechnen. hätten wir gelernt im 2er-system zu rechnen, so würden wir nicht erst ins dezimal-system umrechnen.

da fällt mir nur "teilen mit rest" ein, oder genauer "euklidischer algorithmus".

dein bild ist viel zu klein, durch ranzoomen sieht man auch nicht mehr. daher weiß ich nicht welche rechnungen du ausführst, aber da es um widerstände geht... wird wohl nicht mehr als +, -, * oder / sein.

wenn z.B: 4/9 teilst, dann ist das ja 0 rest 4. das kann man nur durch abziehen der 9 von der 4 erzielen, solange es gerade noch ein nicht-negatives ergebnis hat. (hier keinmal, da 4-9 bereits kleiner 0 ist). was dann über bleibt ist der rest. entscheidend ist nun, wann der rest zur aufrundung, wann zur abrundung führt. das ist aber auch nicht schwierig. nimm den rest mal 2 und sieh ob es größer als 9 wird. 4 * 2 = 8 < 9, also wird abgerundet. denn dann weiß man, dass 4/9 < 1/2 ist !!

da du eh den mod-befehl verwenden darfst, geht das dann natürlich noch viel einfacher, du musst nichtmal den euklidischen algorithmus ausführen, falls du die ganzzahlige teilung auch beherrscht, was aber C++ ja automatisch macht, wie du schreibst. ("Nachkommastellen wegschneidet")

wenn du durch additionen und subtraktionen auf gebrochene zahlen kommst (weil du z.B.: 1+ 2,4 rechnen sollst und der input noch nicht gerundet wurde), dann kannst du auch auf das ergebnis der rechnung die teilung mit rest durch due zahl 1 ausführen.

wenn du nicht auf ganze zahlen runden sollst, sondern z.B. auf die 3te nachkommastelle, dann musst du zuerst dein ergebnis mit 1000 = 10^3 multiplizieren und dann auf ganze zahlen runden. danach wieder durch 10^3 teilen. so rundest du also erst auf "spätere" stellen nach dem komma.

ich denke es ist folgendes gemeint:

die immer größer werdende summe (unendlich viele summanden im grenzfall) ist die eine "unendlichkeit" und die immer "kleiner" (beudetet hier immer näher zur 0 strebend) werdenden summanden sind die andere "unendlichkeit"

kleines bisschen mathematischer: im unendlichen hat man summanden der größe 0, aber unendliche viele davon. die frage ist nun, was ist unendlich * 0 ???

die antwort in diesem fall ist: eine endliche zahl.

betrachte die folge 1/n * n. diese hat immer den wert 1, weil sich das n rauskürzt. (schlage nach was eine folge ist, falls du das nicht weißt). ich kann dies aber auch in 2 teilfolgen zerlegen. einmal das 1/n, welches beliebig "klein" (hier wieder: nah an die 0) wird, andererseits in das n, welches beliebig groß wird. hier ist also 0 * unendlich = 1.

es fällt nicht schwer andere folgen zu basteln, in denen alle anderen erdenklichen reellen zahlen herauskommen oder sogar +/-unendlich.

was also gemeint sein könnte ist, dass unendlich * 0 verschiedene ergebnisse hat, je nach dem, auf welche art und weise die 0 und das unendlich angestrebt wurden. dabei ist sowohl das unendlich als auch die 0 nur ein grenzwert, der erst im unendlichen "angenommen" wird.

in diesem fall kämpft wie gesagt die unendliche summation gegen die kleiner werdenden summanden.

ich schätze dazu mal die summation ab. wenn ich die ersten 89649263 betrachte (endlich viele), dann kommt selbstverständlich auch ein endlicher summenwert heraus, EGAL über was ich summiere. auch wenn die schritte größer werden würden.

da die schritte immer kleiner werden, kann ich abschätzen, dass ab irgendeinem schritt alle schritte kleiner sind als 1/10000000. das geht wenn ich erst spätere schritte betrachte dann auch mit einer beliebigen zahl c nahe der 0. irgendwann sind alle folgenden schritte kleiner als c, solange ich nur hinreichend späte schritte betrachte.

damit ist die summe kleiner oder gleich dem wert c * anzahl-der-restlichen-summanden, da die schritte ja nur noch kleiner werden würden. da aber unendlich - endliche-zahl immernoch unendlich ist, haben wir auch mehr als C viele schritte, wobei C eine beliebig große zahl ist.

damit haben wir ein c, welches gegen 0 strebt, und ein C welches gegen unendlich strebt. die frage ist dann, was ist c * C = " 0 * unendlich "