Der "Beweis" hat den Haken, dass mit deiner beschriebenen Methode kein wirklicher Kreis erzeugt wird. Es sieht wohl wie ein ein Kreis aus von weitem, hat aber in Wirklichkeit ja ganz viele 90° Winkel. Ist so ähnlich wie eine Küstenlinie: Von weitem (auf einer Karte) sieht die Küste garnicht lang aus; wenn man sie aber entlang geht, ist sie länger, da es viele kleine Ausbuchtungen gibt. Genau so funktioniert dieser "Beweis". Von weitem denkt man, dieser kunstruierte Kreis hat den Umfang eines Kreises (also eig 3,14); von nahem sieht man aber die ganzen Winkel und kommt auf einem Umfang von 4.
Vielleicht konnte ich den Fehler in dem Beweis klar machen.