Wie hat Archimedes die Kreiszahl Pi ermittelt?
Lese gerade wieder etwas über Mathematikgeschichte. Kann mir jemand sagen, wie Archimedes genau aus Sechsecken die Kreiszahl Pi (3,14...) errechnet hat? Bisher hab ich rausgefunden, dass er ein Sechseck in den Kreis und außerhalb des Kreises gezeichnet hat, dennoch ist mir die Rechnung nicht wirklich klar.
4 Antworten
na vom 6-Eck kann man doch den Umfang exakt ablesen. Sowohl vom 6-Eck das den Kreis umschließt als auch vom 6-Eck das im Kreis eingepasst ist.
Der Mittelwert dieser beiden Umfänge kommt den Umfang des Kreises dann schon ziemlich nahe.
Jetzt hat er eine Beziehung vom Durchmesser des Kreises zum Umfang herstellen wollen. Das hat er rausgefunden, dass es genau dieser Mittelwert der 6-Eck-Umfänge mal Durchmesser ist. Der Durchmesser ist 2x Radius, deshalb heute die Formel
U = 2 r pi
Allgemein geht es natürlich mit 7-Eck, 8-Eck, 9-Eck … usw. bis 120-Eck noch genauer.
Fleissaufgabe: Rechne mal Pi aus, wenn du so vorgehst wie ich beschrieben und nur zwei 6-Ecke nimmst und dann den Mittelwert und vergleiche mit dem tatsächlichen Wert = 3,14159265....
Er schachtelte einen Einheitskreis (Kreis mit Radius 1) mit regelmäßigen Vielecken ein. Angefangen mit einem regelmäßigen Sechseck, das einmal den Kreis umfasste und einmal in ihn einbeschrieben war. Über das 12-, 24- und 48-Eck gelangte er schlussendlich zum 96-Eck. Auf diese Weise erhielt er eine untere und eine obere Grenze für den Kreisumfang und damit auch für die Zahl Pi.
Damit war Pi schon einmal auf 2 Stellen nach dem Komma genau bestimmt. Archimedes soll sogar noch eine etwas genauere Einschachtelung der Grenzwerte gelungen sein.
Hallo ChioSC,
Viel Glück !
Aber Das ist enorm Rechenaufwendig. Mit den Sechsecken geht es noch realtiv einfach. Danach brauchst Du jede Menge Papier oder ein leistungsfähiges Rechenprogramm für Grphische Probleme.
Archimedes war offensichtlich sehr geduldig, denn die Berechnung eines umfassenden und eines einbeschrieben 96-Ecks wird ihm, zumahl bei dem damals üblichen (für diesen Zweck ungeeigneten) Zahlensystem wahrscheinlich Wochen gekostet haben.
MFG automathias
Die große Leistung von Archimedes war nicht die näherungsweise Berechnung von pi, sondern der BEWEIS das Kreisdurchmesser und Umfang sich genau so verhalten wie Kreisfläche und Quadrat des Radius. Kurz, er hat bewiesen das es pi ÜBERHAUPT GIBT. Bis dahin waren lediglich komplexe Rechenverfahren für die näherungsweise Berechnung des Kreisumfangs und der Kreisfläche bekannt. In diesen steckte zwar auch bei genauerem Hinschauen eine Näherung für pi (deshalb sagt man vereinfacht die alten Ägypter hätten eine Näherung für pi gekannt) aber tatsächlich war die westliche Eigenschaft von pi als Proportionalitätsfaktor eben erst durch Archimedes klar.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Archimedes#Fl%C3%A4chenberechnungen
Der Witz ist, nicht nur Sechsecke zu nehmen, sondern
Polygone mit immer mehr Ecken.
Vielen Dank, das hilft mir schonmal, ich werde versuchen, das demnächst mal selbst nachzuvollziehen. Hoffe, ich schaff's.