Physikolympiade Widerstand Aufgabe?
Wie kann man die folgende Aufgabe lösen?
Mein Problem ist, dass es für mich keine klare seriell und parallel Schaltung gibt. Soll man dann vlt. über Knoten und Maschenregel gehen?
Eine Lösungsskizze würde mir schon reichen.
7 Antworten
Die Antworten sind doch sehr gemischt und lösen das auf wissenschaftlichem Wege. Die Lösungen mögen stimmen, aber für Schüler ist das doch nichts.
Wobei das Thema mit den Kurzschlüssen, was ich witer unten den Antworten gelesen habe, naja... Das vergiss mal bitte, denn das ist einfach nur komplett falsch.
Das ist alles vieeeeeel einfacher, als es aussieht :)))
Spoiler: Brückenschaltung mit zwei zusätzlichen Widerständen parallel.
Schritt 1: Widerstände durchnummerieren, um Missverständnisse zu vermeiden.
Und jetzt kommt, was bei sowas oft sehr hilfreich ist:
Versuchen, zeichnerisch vereinfachen!
Also: In die typische "Tafeldarstellung" bringen.
- Plus* als Linie oben
- Minus* als Linie unten
- Die Widerstände senkrecht dazwischen.
(*=gibt es hier nicht wirklich, da gar keine konkrete Spannung im Spiel, aber zum Verständnis vielleicht hilfreich)
Also das ganze einmal umzeichnen
Ich mache das mal Schritt für Schritt, damit du es nachvollziehen kannst (Qualität nicht die beste, ich kriege das mit Paint grad nicht anders hin)
Schritt 1: Um die Leiter für Plus und Minus gerade zu kriegen, einfach um 45 Grad nach links drehen und "gerade biegen":
Der Plus wechselt die Seite (ist schaltungstechnisch dasselbe):
Jetzt die schrägen inneren Widerstände gerade biegen (jetzt wird es übelst schmierig xD):
Sieht wirklich nicht schön aus. Einmal ins reine gebracht sieht es final so aus:
Merkst du was?
Das ist immer noch die gleiche Schaltung, nur in gewohnter "Tafeldarstellung".
Wie du jetzt vielleicht siehst: Kirchoffsche Gesetze nicht nötig. Wir brauchen nichtmal Spannung!
Wir haben: Eine Brückenschaltung mit zwei zusätzlichen parallelen Widerständen.
(Falls du nicht weißt, was eine Brückenschaltung ist, ignoriere das einfach, da in diesem Fall nicht wichtig.
Jetzt kommt der Rechenanteil.
Jetzt die Widerstände nach und nach zusammenziehen. Mit den normalen Formeln für Reihen- und Parallelschaltung.
Ich nehme als Stellvertreter des Wertes für jeden Teilwiderstand einfach mal nur "R_t", da sie ja alle gleich groß sind und ein konkreter Wert nicht vorhanden ist.
R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R_5 = R_6 = R_t
Parallelschaltung mitte oben aus R_2 und R_6 zusammenfassen:
R_26 = 1 / (1 / R_2 + 1 / R_6) = R_t / 2
Das gleiche für mitte unten aus R_3 und R_5, die auch parallel liegen
R_35 = 1 / (1 / R_3 + 1/R_5) = R_t / 2
Die 2 Zwischenwerte liegen nun in Reihe. Reihenschaltung zusammenziehen:
R_2356 = R_25 + R_36 = R_t / 2 + R_t / 2 = R_t
Abschließend die Parallelschaltung aus R_2356, R1 und R4 auflösen
Es gilt derzeit:
R_2356 = R1 = R4 = R_t
Simples Teilen des Teilwiderständes durch die Anzahl geht, da hier alle Widerstände denselben Wert haben:
R_ges = R_t / 3
Und das wars auch schon!
Wenn du für R_t den Widerstandswert eines Widerstandes einsetzt, spuckt dir die Formel den Gesamtwiderstand aus.
Stell dir vor, dass du eine Spannungsquelle zwischen den beiden Klemmen anschließt. Aufgrund der Symmetrie wird durch die im Kreuz geschalteten, mittleren Widerstände jeweils der gleiche Strom fließen. Weiterhin aufgrund der Symmetrie muss gelten, dass durch die äußeren Widerstände ggü. jeweils einem mittleren Widerstand der doppelte Strom fließt. An dem äußeren R liegt also die volle Spannung an, an den mittleren R's nur jeweils die Hälfte der Spannung.
Wir bekommen für die eine Hälfte:
Weil das ganze beidseitig ist wegen der Symmetrie, gilt:
Dadurch erhalten wir als Summe den dreifachen Wert des Stroms, der sonst nur durch 1R bei 1U fließen würde.
Deshalb muss der Gesamtwiderstand der Schaltung ein Drittel von R betragen.
Der alternative, ebenfalls einfache Weg ist zu erkennen, dass jeweils zwei der mittleren Widerstande parallelgeschaltet sind und wir deshalb dort 0,5R erhalten.
Diese liegen dann in Reihe zueinander, sodass wir mittig 1R erhalten.
Der mittlere Ersatzwiderstand liegt hingegen wieder parallel zu den beiden äußeren Widerständen, sodass wir eine Parallelschaltung von drei R Widerständen haben.
Keine Lösung, aber beschäftige dich mit Dreiecks- und Sternschaltungen von Widerständen. Die kann man ineinander umwandeln und ich denke, das sollte zur Lösung führen.
- Die beiden gleich großen Widerstände R₂ = R und R₄ = R sind zueinander parallelgeschaltet, was einen entsprechenden Ersatzwiderstand R₂₄ = R/2 liefert. [Hinweis: Eine Parallelschaltung erkennt man relativ einfach daran, dass die Widerstände auf der einen Seite miteinander verbunden sind, und auf der anderen Seite miteinander verbunden sind. Das ist bei R₂ und R₄ der Fall.]
- Die beiden gleich großen Widerstände R₃ = R und R₅ = R sind zueinander parallelgeschaltet, was einen entsprechenden Ersatzwiderstand R₃₅ = R/2 liefert.
- R₂₄ = R/2 und R₃₅ = R/2 sind zueinander in Reihe geschaltet, was einen entsprechenden Ersatzwiderstand R₂₃₄₅ = R₂₄ + R₃₅ = R/2 + R/2 = R ergibt.
- Die drei gleich großen Widerstände R₁ = R und R₂₃₄₅ = R und R₆ = R sind zueinander parallelgeschaltet, was dann R/3 als Gesamtwiderstand liefert.
Dreieck-Stern-Tranformation mag ich nicht, den Maschensatz verwende ich niemals.
Also käme für mich nur die aus dem Knotensatz abgeleitete Knotenpotententialanalyse in Frage. Da habe ich festgestellt, dass ein Gleichungssystem mit genau einer Gleichung zu lösen ist.
Das fand ich irgendwie affig, deshalb habe ich mir das mal näher angesehen.
Den Knoten links nenne ich A, den in der Mitte M und den rechts B. Die Widerstände nenne ich: links oben R1, von der Mitte ausgehend nach oben R2, nach links R3, nach rechts R4, nach unten R5. Rechts unten ist R6.
R2 und R4 sind parallelgeschaltet, also R/2.
R3 und R5 auch. Damit gibt es zwischen A und B drei Strompfade: über R1 (= R), über R6 (= R) und über die Parallelschaltung R3 || R5 (=R/2) + R2 || R4, also auch insgesamt R.
Damit ist der Gesamtwiderstand R/3.