Obersumme und untersumme gleich gross?

Hallo,

ich habe bei der Aufgabe 3a) für die untersumme und Obersumme 11/8 und 13/8 herausbekommen. Stimmt das ?

Answer 1

[nobytree2]

3a) f(x) = x + 1, Intervall [0;2], also haben wir die rechten Teilintervallgrenzen 1/2, 1, 3/2 und 2. Damit die Höhen 3/2; 2; 5/2; 3, alles mit der Teilintervallbreite von 0,5 multipliziert ergibt 3/4 + 1 + 5/4 + 3/2 = 4,5

Untersumme, die linken Teilintervallgrenzen 0; 1/2; 1; 3/2, damit die Höhen 1; 3/2; 2; 5/2, wie oben dann 1/2 + 3/4 + 1 + 5/4 = 3,5.

Hätte man natürlich auch zusammengefasster ausrechnen können, da die Fläche unter der Gerade offensichtlich 4 ist, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme ist 4 * 0,5 * Steigung * 0,5 = 1, also 4,5 und 3,5.

Dito für 8: Teilintervallgrenzen 1/4; 1/2; 3/4; 1; 5/4; 3/2; 7/4; 2. Mit Höhe, das ist quasi das +8, also 17, dass dann durch 4 (=8/2), also 17/4. Untergrenze verschoben, es fehlt hinten die 2, vorne dafür die 0, also 15/4.

Es muss immer ein bisschen über der 4 und ein bisschen unter der 4 sein.

Kann man wieder direkt sehen, Differenz zwischen Ober und Untersumme ist: 8 * 0,25 * Steigung * 0,25 = 1/2, das ist die Differenz zwischen Obersumme und Untersumme, also 4,25 und 3,75.

Das gilt bei dieser Funktion hier allgemein für

$2^n\ Intervalle:\ Differenz\ =\ 2^n\cdot\frac{1}{2^{n-1}\cdot2^{n-1}}\cdot Steigung\ =\frac{Steigung}{2^{n-2}}$

Und dann für die Obersumme OS bzw. Untersumme US

$OS=4+\frac{\left(\frac{Steigung}{2^{n-2}}\right)}{2}=4+\frac{Steigung}{2^{n-1}};\ US\ =\ 4-\frac{Steigung}{2^{n-1}}$

Answer 2

[DerRoll]

Ohne Rechnung kann man dir nicht sagen "wie das sein kann". Tatsächlich handelt es sich bei der betreffenden Funktion um eine Gerade mit Steigung 1, da müssen Ober- und Untersumme verschieden sein.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[Dilo3333]

Ich hab mich vertippt ich habe jetzt für die Obersumme 13/8 raus

Answer 3

[gauss58]

Da hast Du Dich verrechnet. Wie sieht denn Deine Rechnung aus?

Comments

[Dilo3333]

Für die obersumme 0,25( 1,25+1,5+1,75+2)

[DerRoll]

@Dilo3333

Da sieht man dann doch auf den ersten Blick dass das nicht gleich sein kann.

[Dilo3333]

@DerRoll

Wie genau sollte das dann sonst sein ?

[DerRoll]

@Dilo3333

Ich meine man sieht auf den ersten Blick das Ober- und Untersumme nicht das gleiche Ergebnis haben können. Denn vor der Klammer steht der gleiche Wert und der Wert der Obersumme ist größer als der der Unternumme. Das sieht man wenn man jeweils die gleichstelligen Werte vergleicht. 1,25 > 1 usw.

[Dilo3333]

@DerRoll

Also stimmt mein Ergebnis 13/8 für die obersumme nicht

[gauss58]

@Dilo3333

13/8 passt

[Dilo3333]

@gauss58

Also alles richtig yeaaaa

[Dilo3333]

Für die Untersumme 0,25 (1+1,25+1,5+1,75)

[gauss58]

@Dilo3333

passt