Wie berechnet man die Untersumme n und die Obersumme n ?
Als Hausaufgabe haben wir aufbekommen den rechenweg zu erklären.
Bei der Berechnung der Un und On weisst ich nicht so genau, wie die auf den Ergebnis kamen. Bei der Grenzwertbildung auch nicht.
2 Antworten
Bei der Berechnung der Un und On weisst ich nicht so genau, wie die auf den Ergebnis kamen
Ich sage jetzt mal etwas sehr salopp: Im entscheidenden Schritt musst Du an dieser Stelle einfach "fressen", was da benutzt wurde. Es wird hier zwar im Text darauf hingewiesen, dass die Summe der Quadrate ersten "m" Zahlen durch
gegeben ist, aber bewiesen wird die Behauptung nicht (was man mithilfe einer vollständigen Induktion leicht könnte).
Der Grenzwertbildung liegt zugrunde, dass das Produkt aus Folgen, die jede für sich einzeln konvergiert, gleich dem Produkt der Grenzwerte ist.
Die Fläche unter der Parabel wird näherungsweise in rechteckige Streifen zerlegt, wobei die Rechtecke so gebildet werden, dass die Summe der Rechtecke die Fläche einmal zu klein (Untersumme) und einmal zu groß (Obersumme) angibt.
Die Breite der Streifen beträgt 1/n und die Höhe ergibt sich aus der Funktionsgleichung der Parabel.
Das erste Rechteck der Untersumme hat die Fläche (1/n) * 0² und das erste Rechteck der Obersumme hat die Fläche (1/n) * (1/n)². Die zweite Fläche der Untersumme beträgt (1/n) * (1/n)² und die zweite Fläche der Obersumme (1/n) * (2/n)² usw.
Die Grundseite (1/n) wurde in den Formeln ausgeklammert.
Von der dritten zur vierten Zeile bei der Untersumme bzw. von der zweiten zur dritten Zeile bei der Obersumme wurde die o.g. Summenformel (ohne Beweis) genutzt.
Bei der Grenzwertbildung geht die Breite der Streifen gegen unendlich.
Bei der Grenzwertbildung helfen die Erkenntnisse, dass n/n gekürzt werden kann und (n + 1) / n = (n / n) + (1 / n) ist, was für n gegen unendlich 1 ergibt.