Oberstufen Mathe Hilfe?
Zwei Würfel mit den abgebildeten Netzen werden gleichzeitig geworfen. Setzt man einen Euro, so kann man 2€ gewinnen, wenn das Produkt beider Zahlen eine Quadratzahl ist. Ist das keine Quadratzahl aber ungerade, so gewinnt man sogar 4€ a) Listen Sie alle Gewinnfälle auf ! b) Ermitteln Sie den durchschnittlichen Gewinn oder Verlust des Spielers pro Spiel!
Würfel netze: 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4
2 3
Bin leider ziemlich schlecht in Mathe und bitte um Hilfe. Es wäre auch nett wenn man beim lösen beider Aufgaben a und b, bitte es ausführlich lösen könnte, sodass ich es auch verstehe :) Danke im voraus :D Mfg Yuusha
3 Antworten
2€-Gewinn und 4€
bei 1 ∙ 1 Wahrsch. = ⅙ ∙ ⅙ bei 1 ∙ 3 W = ⅙ ∙ ½
bei 1 ∙ 4 W = ⅙ ∙ ⅙ bei 3 ∙1 W = ½ ∙ ⅙
bei 2 ∙ 2 W = ½ ∙ ⅙ Zusammen W₄ = ⅙
bei 3 ∙ 3 W = ⅙ ∙ ½
bei 4 ∙ 1 W = ⅙ ∙ ⅙
Zusammen W₂ = ¼
Gewinn pro Spiel: 2€ ∙ W₂ + 4€ ∙ W₄
Leider gleich an mehreren Stellen falsch, so ist z.B. W4 nicht 1/6, sondern 4/36 = 1/9
Keine Hausaufgabenhilfe, aber ein paar Tips:
Die Netze sind bei dieser Aufgabe irrelevant, es reicht die Angabe, welche Zahlen auf den Würfeln stehen.
Für Würfel 1 (W1) also 1; 2; 2; 2; 3: 4
Für Würfel 2 (W2) also 1; 2; 3: 3; 3; 4
Der einfachste Weg (ohne jetzt das Gehirn groß anzustrengen) besteht darin, alle 6 * 6 = 36 Kombinationen aufzuschreiben und auszurechnen. Dahinter notierst Du noch den jeweiligen Gewinn / Verlust (G/V)
W1 W2 Produkt G/V 1 1 1 1€ 1 2 2 -1€ 1 3 3 3€ ...
Frage: Warum steht in der ersten Zeile nur ein Gewinn von 1€? Und in der dritten nur 3€? Man gewinnt doch 2€ bzw. 4€?
Richtig, aber von der Auszahlung muß man den Einsatz (1€) abziehen! Deswegen steht in der zweiten Zeile auch -1€: Der Spieler verliert bei diesem Wurf 1€.
Wen Du alle 36 Möglichkeiten aufgeschrieben hast, brauchst Du nur alle Gewinne und Verluste zu addieren und durch die Anzahl der Möglichkeiten zu teilen, um den durchschnittlichen Gewinn oder Verlust pro Spiel zu errechnen.
Die elegantere (aber auch etwas kompliziertere) Methode geht so:
- Du weißt, daß es 6 * 6 = 36 mögliche Würfe gibt.
- Das kleinste mögliche Produkt ist 1, das größte mögliche ist 16.
- Somit gibt es 4 Quadratzahlen, mit denen man gewinnt: 1; 4; 9 und 16.
- Wie viele mögliche Kombinationen gibt es jeweils?
Der besseren Übersicht halber beschrifte ich auf jedem Würfel mehrfach vorkommende Zahlen mit a, b, c:
Meine Würfel schauen dann so aus:
Würfel 1 (W1) 1; 2a; 2b; 2c; 3: 4
Würfel 2 (W2) 1; 2; 3a: 3b; 3c; 4
Für das Ergebnis 1 gibt es nur 1 mögliches Produkt: 1 * 1
Es gibt nur 1 Kombination: [1; 1]
Für das Ergebnis 4 gibt es 2 mögliche Produkte: 2 * 2 und 1 * 4
Die Kombinationen sind: [2a; 2], [2b; 2], [2c; 2], [1; 4] und [4; 1]
Insgesamt 5 Kombinationen.
Für das Ergebnis 9 gibt es nur 1 mögliches Produkt: 3 * 3
Die Kombinationen sind: [3; 3a], [3; 3b], [3; 3c]
Insgesamt 3 Kombinationen.
Für das Ergebnis 16 gibt es nur 1 mögliches Produkt: 4 * 4
Es gibt nur 1 Kombination: [4; 4]
Zählt man alles zusammen, erhält man 1 + 5 + 3 + 1 = 10 Möglichkeiten, bei denen der Spieler 1€ gewinnt.
Als nächstes: Welche Produkte sind ungerade, aber keine Quadratzahlen?
Ein ungerades Produkt entsteht immer aus zwei ungeraden Zahlen. Die geraden Zahlen 2 und 4 fallen also schon mal weg. Verbleiben 1 und 3.
1 * 1 = 1 und 3 * 3 = 9 sind Quadratzahlen, somit bleibt nur 1 * 3 = 3
Wie viele mögliche Kombinationen gibt es für dieses Produkt?
Die Kombinationen sind: [1; 3a], [1; 3b], [1; 3c], [3; 1]
Also 4 Möglichkeiten, bei denen der Spieler 3€ gewinnt.
Endspurt:
- Es gibt 6 * 6 = 36 mögliche Würfe
- Bei 10 Würfen gewinnt der Spieler 1€
- Bei 4 Würfen gewinnt der Spieler 3€
- Bei allen anderen Würfen (also 36 - 10 - 4 = 22) verliert der Spieler 1€.
Damit lautet die finale Gleichung:
x = (10 * 1 + 4 * 3 - 22 * 1) / 36
Und das darfst Du jetzt alleine ausrechnen ;)
Die Netze nochmal :
2 3
1 2 3 4 1 2 3 4
2 3
Du hast recht. War wohl doch zu spät in der Nacht für mich.
Bei den Quadraten fehlt bei mir die 4 ∙ 4, daher ist W₂ nicht 9/36,
sondern 10/36. Bei den ungeraden kommt 3 ∙ 1 nur einmal
und W₂ ist nicht 6/36 sondern 4/36. Die Auszahlung pro Spiel
ist also (im Durchschnitt) 2 ∙ 10/36 + 4 ∙ 4/36 = 1 €. Da aber
pro Spiel 1 € eingesetzt werden, ist die Gewinnwahrsch. 0 € .