Nicht lineare Gleichung?
Das ist die Gleichung, aber diesmal nicht linear, wegen der Wurzel. Wie löst man sowas auf? Dankeschön :)
Nach welcher der beiden Variablen willst du die Gleichung denn auflösen?
Ich weiß es nicht haha. Also ich weiß halt nicht, welche Variable in diesen Fall besser wäre.
5 Antworten
Hallo,
zunächst Gleichsetzungsverfahren:
√x+y=7, also x=(7-y)²
Nach Gleichung 2 ist x=11-√y
Daher gilt: (7-y)²=11-√y.
Nun Substitution: √y=u und y=u²
(7-u²)²=11-u
Ausmultiplizieren der linken Seite nach zweiter binomischer Formel:
49-14u²+u^4=11-u
Alles nach links:
u^4-14u²+u+38=0
Auf Ferrari habe ich um diese Zeit keinen Bock mehr, daher muß der Casio ran.
Lösungen für u sind u1=3,131312518, u2=2, u3=-1,848126527, u4=-3,283185991
Da y=u², sind die Quadrate der vier Lösungen für u mögliche Lösungen für y:
y1=9,805118087, y2=4, y3=3,41557166, y4=10,77931025
Da x=11-√y=11-u, ist
x1=7,868687482, x2=9, x3=12,84812653, x4=14,28318599
Bei Wurzelgleichungen treten Scheinlösungen auf, daher muß jedes Lösungspaar von x1;y1 bis x4;y4 durch Einsetzen in die ursprünglichen Gleichungen überprüft werden.
x1;y1 paßt nur zu Gleichung 2, aber nicht zu Gleichung 1.
x2=9 und y2=4 ist eine korrekte Lösung.
x3=12,84812653 und y3=3,41557166 lösen das Gleichungssystem ebenfalls. (Tun sie nicht, siehe meinen Kommentar).
x4;y4 passen nur zu Gleichung 2, aber nicht zu Gleichung 1.
Es gibt also eine echte und drei Scheinlösungen.
Herzliche Grüße,
Willy
x3;y3 ist doch nur eine Scheinlösung. Hatte einen Vorzeichenfehler bei der Probe.
Einzige Lösung daher x=9 und y=4
Müsste es nicht 2a bzw. 2u sein? Weil du das a bzw a ja rüber ziehst. Oder täusche ich mich?
Bei deiner ersten Antwort, die Aufforderung alles nach links zu bringen. Oh, Entschuldigung. Hast doch richtig gerechnet, bloß versehen, alles gut.
Das ist ein Gleichungssystem, das einfacher durch Raten und Probieren zu lösen ist als durch Rechnen. Beim Raten kann Dir allerdings die eine oder andere weitere Lösung durchgehen (hier gibt es allerdings nur die eine). Immerhin ist es auf mathematisch eindeutige Weise lösbar, auch wenn es auf eine unangenehme Gleichung vierten Grades hinausläuft.
√x = 7 - y
y = 7 - √x
x + √y = 11
√y = 11 - x
y = (11 - x)^2 = 121 -22x + x^2
y = y
7 - √x = 121 -22x + x^2
x^2 - 22x + √x + 114 = 0
Das löse ich graphisch:
und höher aufgelöst:
x1 = 9
y1 = 7 - √9 = 4
Probe:
√9 + 4 = 7
9 + √4 = 11
stimmt...
x2 = 12,8482
y2 = 7 - √ 12,8482 = 3,4156
Probe:
√ 12,8482 + 3,4156 = 7,0000
12,8482 + √3,4156 = 14,7
stimmt nicht, also keine Lösung
will man wurzeln weghaben , müssen diese solo auf einer Seite der Glg stehen.
.
nach x
.
w(x) = 7 - y ...........quad
x = (7-y)²..............fertig
vertauscht man x und hat man eine Parabel
.
nach y
y = 7 - w(x)
das ist der negative Ast der Umkehrfkt von
y = x²
und um 7 nach oben verschroben.
Variablen auf getrennte Seiten und dann quadrieren. Am Ende noch deine Lösungen überprüfen, weil quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
Also wenn du nach, was unter der wurzel steht, suchst
Ah, du meinst die Wurzeln auf die Produktseite und die natürlichen Zahlen auf die Eduktseite?
Auf eine Seite x und auf die andere y
Würden beide auf einer Seite stehen, würdest du beim quadrieren wieder eine wurzel da stehen haben. (binomische Formel, das 2ab)
Ja ich verstehe es, könntest du es aber zeigen? Stehe gerade auf dem Schlauch, sorry
Die Lösung ist 9 und 4.
Aber wie rechnet man das? 😄
Es gibt doch keine zweite. Die war ebenfalls eine Scheinlösung.
x=9 und y=4 ist die einzige Lösung.
Es geht noch etwas einfacher.
Ersetze √x durch a und x durch a², √y durch b und y durch b².
Dann bekommst Du das Gleichungssystem
a+b²=7
a²+b=11
b²=7-a und b²=(11-a²)²=121-22a²+a^4.
Wieder gleichsetzen:
7-a=121-22a²+a^4.
Alles auf eine Seite:
a^4-22a²+a+114=0.
Bei den vier Lösungen für a sofort die negativen aussortieren, da a=√x und √x nur als positive Zahl definiert ist. Damit fallen von vornherein zwei Scheinlösungen weg.
Bleiben noch 3,58442834 für a und 3.
Da b=11-a², fällt auch noch die 3,58442834 weg, denn damit würde b negativ und die Wurzel y darf keine negative Zahl sein.
Bleibt 3 für a und damit 3²=9 für x und 11-9=2 für b und b²=4 für y.