Nähert sich diese Reihenfolge einem Kreis an?
Ich starte mit einem Kreis, um dem kommt ein gleichseitiges Dreieck, dann darum wieder ein Kreis und darum ein Quadrat, darum wieder ein Kreis und dann ein regelmäßiges Fünfeck, das mach ich dann so mit jedem weiteren regelmäßigem n-eck, konvergiert das irgendwann zu einem Kreis und wie verhält sich der Flächeninhalt des Kreises in Abhängigkeit von n?
2 Antworten
Wunderschöne Frage, .... du hast eine Folge von n-Ecken, In- und Umkreisen.
Der Umkreis um das 3-Eck mit Seitenlänge a3 hat den Radius
Ru3 = a3 / ( 2 sin( 180°/3 ) )
(https://de.wikipedia.org/wiki/Umkreis#Umkreise_anderer_Vielecke)
Er ist gleichzeitig der Inkreis des Quadrats mit der Seitenlänge a4, die bestimmt ist durch
(Ru3= ) Ri4 = a4 / ( 2 tan( 180°/4 ) )
(https://de.wikipedia.org/wiki/Inkreis#Inkreise_anderer_Vielecke)
Hieraus kann man a4 bestimmen zu
a4 = Ri4 * 2 tan( 180°/4 ) = Ru3 * 2 tan( 180°/4 )
Allgemein für n:
a(n) = Ru(n-1) * 2 tan( 180°/n )
Der Umkreis des Quadrats hat den Radius
Ru4 = a4 / ( 2 sin( 180°/4 ) )
Allgemein für n:
Ru(n) = a(n) / ( 2 sin( 180°/n ) )
Setzen wir das zusammen:
Ru(n) = a(n) / ( 2 sin( 180°/n ) ) = Ru(n-1) * 2 tan( 180°/n ) / ( 2 sin( 180°/n ) )
= Ru(n-1) / cos( 180°/n )
und induktiv
Ru(n) = Ru(n-1) / cos( 180°/n ) = Ru(n-2) / cos( 180°/n ) / cos( 180°/(n-1) )
= Ru(3) / cos( 180°/n ) / cos( 180°/(n-1) ) / .... / cos( 180°/4 )
Das Produkt der Werte des Cosinus scheint einen Grenzwert zu haben,
cos( 180°/n ) * cos( 180°/(n-1) ) * .... * cos( 180°/4 ) ---> 0.23....
Wenn wir also mit der Dreiecksseite der Länge 1 starten, dann ist der erste Umkreisradius Ru3 = 1 / ( 2 sin( 180°/3 ) ) = 0.577.... und wir nähern uns einem Kreis mit dem Radius 0.577... / 0.23... = 2.5....
richtig vollkommen
so kann man sich der Kreiszahl pi nähern, mit n - Ecken ( 3- 4- 5- Ecken usw )
Naja wenn du bei einem Kreis anfängst und von außen her beginnst ist es Wurst mit welchem n Eck du anfängst sie werden nie alle reinpassen
Ich muss das mal gründlich mindestens bis zu n ist dreißig aufzeichen ich meine das konvergiert nicht, das ist die selbe Geschichte wie bei allen Wurzeln bzw. Mit den Kreisen auf dennen die Gaußen Zahlen verteilt sind sie nehmen ähnlich schnell in ihrem Zuwachs des Radius ab dennoch divergieren sie da es unendlich viele Gauße Zahlen gibt
Aber mal eine Frage wie groß wäre dann der Kreis oben wenn der erste den Radius 1 hätte, weil dadurch das es ineinander verpackt ist ergibt sich doch noch eine völlig andere Konfiguration oder nicht?