Münzwurf Mindestens?
Hey, hätte eine Frage zu Mathematik.
Es geht um die Frage das man eine Münze 500 mal wirft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 275 mal kopf zu haben.
Zuerst habe ich natürlich an die Binominalverteilung gedacht
Und mal probiert in den Taschenrechner einzugeben:
nCr(500,275)0.5^275(1-0.5)^(500-275) raus kommt 0. Ich vermute mal das der taschenrechner Sachen wie "0.5^275" einfach auf 0 rundet.
Als Tipp wurde gegeben das wir das mit der Normalverteilung annähern sollen. Hab ich auch mal probiert
V(x) = 500* 0.5 * 0.5 = 125
E = 500 * 0.5
s = 11.18
z = x - E / s
z = 2.23
Dann komme ich auf eine Wahrscheinlichkeit von 1,287%. Laut Lösung ist die Wahrscheinlichkeit 1.42
Habt ihr eine Lösung oder eine Idee?
4 Antworten
Die Approximationsformel habe ich mal dieser Seite hier entnommen:
http://www.herder-oberschule.de/madincea/aufg1213/normal.pdf
Nun ist X die Zufallsvariable der Anzahl der Köpfe unter deinen 500 Münzwürfen.
P(X<=x) entspricht dann laut der Approximationsformel Φ((x+0,5-E(X))/√Var(X)), wobei Φ für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung steht.
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt weiterhin:
P(X>=275) = 1 - P(X<=274) = 1 - Φ ((274+0,5-250)/√125) = 0,01421336.
Antwort, mit Links zum Nachlesen, Super!
danke habs verstanden :-)
ich kenne es nach dieser "Formel":
P(X<=x)=phi((x+0,5-E)/s)
Das in der Klammer hinter dem phi (=Verteilungsfunktion) ist Dein z...
Das ergibt dann eingesetzt (x=274): =phi(2,19)
Das dann in einer Tabelle entsprechend abgelesen: phi(2,19)=0,98574
Du brauchst P(X>274), also 1-0,98574=0,01426=1,426 %
Das kommt auch mit diesem Rechner (ca.) raus:
http://www.ingo-bartling.de/mathe/klasse12/html/stochastik/binomial/binomialvert.html
Die Formel steht so in meiner Formelsamlung aber auch hier bei Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung#Beispielrechnung
Der von dir gepostete Link behandelt lediglich die z-Transformation bzw. Standardisierung einer beliebigen Normalverteilung (mit beliebigem Erwartungswert und beliebiger Varianz) in die Standardnormalverteilung (mit Erwartungswert 0 und Varianz 1).
Mit der Formel für die Approximation einer Binomialverteilung durch die Normalverteilung haben die dortigen Inhalte nichts zu tun. Daher kommst du damit auch nicht weiter.
Hier eine Tabelle um die phi-Werte abzulesen
https://www.math.tugraz.at/mathc/wsp2016/vorlesung-scans/normalverteilungstabelle.pdf
Mein Ansatz wäre anders. Da er aber nicht zu der vorgegebenen Lösung führt, wird er wohl falsch sein.
Google rechnet deine Formel, ohne auf 0 zu runden.
Dortiges Ergebnis: 0,00293
Ich komme auch auf die 1.42%, jedoch habe ich noch keine elegante Möglichkeit, dies zu berechnen. hier der lange Weg:
Mein Ansatz:
es gibt (500 über 275) Möglichkeiten um bei 500 genau 275 mal Kopf zu werfen, (500 über 276) Möglichkeiten, genau 276 mal Kopf zu werfen...
und so weiter bis (500 über 500) um genau 500 mal Kopf zu werfen.
Die "günstigen" Ausgänge sind also
(500 über 275) + (500 über 276) + (500 über 276) + ... + (500 über 500) =
4,63612943049107E+148
Mögliche Ausgange gibt 2^500 = 3,27339060789614E+150
Daraus ergibt sich aus "günstige/mögliche" eine Wahrscheinlichkeit P von
P = 1,4163 %
Wo kommen denn die +0.5 her?
Die Formel ist doch
Z = (x - e) / s
Und wieso nimmst du denn 274? Wir müssen doch mindestens 275 mal Kopf haben und höchstens 225 Mal zahl.
Ich kann das irgendwie nicht nachvollziehen wieso das stimmt