Momentane Geschwindigkeit mit Limes berechnen?
Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion [m] in Abhängigkeit von t [s].
Aufgabe: Näherungsweise die momentane Geschindigkeit bei t=3 berechnen!
s(t)=0,6t^2+2t
Bitte kann mir jemand den Rechenweg erklären, denn ich verstehe nicht, wie man den Limes "händisch" berechnet. Den Trick mit den binomischen Formeln habe ich schon ausprobiert:/.
Als Lösung sollte 5,6 m/s rauskommen.
Liebe Grüße und es wäre echt cool, wenn jemand die Frage heute noch beantworten könnte:)
LG <3
5 Antworten
Um die momentane Geschwindigkeit zu bestimmen, rechnet man in der Regel die Tangentensteigung aus.
Dazu bestimmt man die erste Ableitung der Funktion:
s(t)=0,6t²+2t
s'(t)=1,2t+2
Tangentensteigung bei t=3:
s'(3)=1,2*3+2
=5,6
Wenn ihr so etwas noch nie gemacht habt, kann man auch eine ungefähre momentane Geschwindigkeit ausrechnen, indem man die mittlere Änderungsrate bestimmt. Hierfür wähle ich im Beispiel den Bereich t=2 bis t=4.
s(4)=0,6*4²+2*4
=0,6*16+8
=17,6
s(2)=0,6*2²+2*2
=0,6*4+4
=6,4
Die mittlere Änderungsrate beträgt (17,6-6,4)/(4-2)=11,2/2=5,6. Das das Ergebnis jetzt genau richtig ist, ist Zufall, eine geringe Abweichung wäre auch möglich gewesen!
Den Limes aka Grenzwert berechnet man, indem man unendlich für t einsetzt.
s(unendlich)=0,6*unendlich²+2*unendlich
=unendlich
s(-unendlich)=0,6*(-unendlich)²+2*(-unendlich)
=0,6*unendlich
=unendlich
Was das mit der momentanen Geschwindigkeit zu tun haben soll, weiß ich nicht.
Vielen Dank für diese Erklärung! Das hilft gerade sehr😅!! Liebe Grüße:)
Die erste Ableitung von f ist ja folgende:
f'(t) = 2*0,6t + 2 = 1,2t + 2
Also:
f'(3) = 1,2*3 + 2 = 5,6.
Die erste Ableitung an der Stelle s für die Funktion f(t)ist jedoch wie folgt definiert:
f'(s) = lim (f(t) - f(s)) / (t-s)
Wobei lim x gegen s schicken soll. (nicht x gegen unendlich!)
Wir setzen also ein:
f'(s) = lim ( (0,6t²+2t) - (0,6*3²+2*3) )/(t-3) = lim ( 0,6t²+2t-11,4 ) / (t-3) = (0,6*3²+2*3 -11,4) / (3-3) = 0/0
Damit sind die Bedingungen der Regel von l'Hospital erfüllt g(t)=(0,6t²+2t-11,4) und h(t)=(t-3) sind differenzierbar und h'(t)=1 (also ist h'(t) niemals gleich 0)
Mit der Regel von l'Hospital wissen wir nun, dass (wobei lim t immer noch gegen s schickt!)
lim ( g(t) ) / ( h(t) ) = lim ( g'(t) / ( h'(t) ) = lim ( 1,2t +2 ) / 1 = lim 1,2t +2 = 1,2*3 + 2 = 5,6.
Somit haben wir bei s = 3 eine momentane Geschwindigkeit von 5,6 m/s.
durchschnittliche Geschwindigkeit v=(S2-S1)/(t2-t1)
t1=3s und t2=3,001
S1(3)=0,6*3^2+2*3=11,4m
S2(3,001)=0,6*3,001^2+2*3,001)=11,4056..m
v=(11,4056-11,4)/(0,001)=5,6 m/s
mit den lim wäre ja h=t2-t1 gegen Null. Dann würde man ja zu der Ableitung kommen
V(t)=ds/dt=S´(t)
Formel V(t)=S(h)-S(t))/h
ist nich v(t)=s'(t) ? also die erste Ableitung? das wäre dann aber keine Näherung...
ne Näherung wäre v(t) = ( s(t+dt) - s(t) ) / dt
entweder du benutz die ableitung, oder du berechnest (f(3)-f(3+h))/h für immer kleinere h.
@bordori Ich probiere jetzt einfach mal alle möglichen Arten aus und schau was passiert😅
Ich werds mal ausprobieren;) LG ps: dein benutzername hats drauf:D
Wenn du das mit Grenzwert meinst (bei uns hieß das h-Methode), geht h gegen 0 bei der Formel y=(f(3)-f(3+h))/h
Also:
y=((0,6*3²+2*3)-(0,6*(3+h)²+2*(3+h)))/h
y=(11,4-(0,6*(9+6h+h²)+6+2h)))/h
y=(11,4-(5,4+3,6h+0,6h²+6+2h)) /h
y=(11,4-(11,4+5,6h+0,6h²))/h
y=(-5,6h-0,6h²)/h
y=-5,6-0,6h
Bei h=0 macht das y=-5,6. Ok, irgendwo ist ein Vorzeichenfehler, aber das Prinzip stimmt xD