Binomische Formeln auf Beispiele anwenden?
In Mathe hat mein Sohn hier eine Aufgabe, die keiner von uns versteht. Ich brauche eure Hilfe!!😄
Die Aufgabe lautet: Berechne mithilfe der binomischen Formeln. 81×79
Bei einem vorgerechnetem Beispiel sieht das ganze so aus:
71^2 = (70 + 1)^2 = 70^2 + 2 × 70 × 1 + 1^2 = 4900 + 140 + 1 = 5041
Danke im Voraus 😊
3 Antworten
Hallo,
(a+b)*(a-b)=a²-b² (dritte binomische Formel)
Wenn Du zwei Zahlen hast wie 81 und 79, die gleich weit von einer glatten Zahl entfernt sind, kannst Du auch größere Multiplikationen leicht im Kopf durchführen.
Hier steht die 80 zwischen 79 und 81.
79=80-1; 81=80+1
(80-1)*(80+1)=80²-1²=6400-1=6399.
Die Erleichterung besteht darin, daß es viel einfacher ist, das Quadrat einer durch 10 teilbaren Zahl zu bilden und von dem Ergebnis das Quadrat einer einstelligen Zahl abzuziehen, als zwei Zahlen wie 79 und 81 miteinander zu multiplizieren.
Das klappt immer, wenn sich zwischen den beiden Zahlen, die Du multiplizieren möchtest, eine durch 10 oder 100 oder durch eine andere Zehnerpotenz teilbare Zahl genau in der Mitte befindet.
Andere Beispiele: 47*53=(50-3)*(50+3)=2500-9=2491
194*206=(200-6)*(200+6)=40000-36=39964
Mit ein wenig Übung rechnest Du so etwas schneller im Kopf aus (vorausgesetzt, Du kennst ein paar Quadratzahlen auswendig), als jemand anderes die Zahlen in einen Taschenrechner eintippen kann.
Herzliche Grüße,
Willy
@V9876 Dann empfehle ich Dir die Bewertung dieser Antwort als hilfreichste.
Analog zum vorgegebenen Beispiel:
81*79 = (80+1)*(80-1) = 80^2 - 1
stimmt so, die 81 und die 79 in 80+-1 umwandeln. wer kommt denn auf so eine bescheuerte aufgabe?? ich weiß ja dass es mit potnzen und biomischen formeln hapert aber ob das zielführend ist?
Ich glaube der Sinn dieser Aufgabe ist, dass man es erst durch die Umwandlung im Kopf rechnen kann!
Die Aufgabe ist gar nicht so dumm, das mit der 3. binomischen Formel ausrechnen zu sollen. Angenommen, man komme nicht umhin, 81·79 ausrechen zu sollen, und es solle schnell gehen.
TR rauskramen und tippen dauert zwar nicht sehr lange, aber länger als man das mit der 3BF ausgerechnet hat; außerdem kostet es auf Dauer Grütze, wenn man jeden Scheixx mit'm TR ausrechnet und nix mehr selber denkt.
Im Kopf musse mehrere Schritte gehen: Wenn 80·80=6400 ist (8·8=64, 2 Nullen dran), ist 80·81 offenbar noch mal 80 mehr, also 6480.
Davon musse dann 81 abziehen, weil man ja nicht 80, sondern nur 79 mal 81 braucht, also 81 weniger, voilà!
Wenn'ze Dich nicht unterwegs verrechnet has', was bei mehreren Schritten leicht passieren kann.
Die 3BF ist nicht kompliziert, sie macht das Rechnen mit solchen Problemen einfacher, schneller und sicherer.
Versuchs mal mit der Dritten.
Ich habs jetzt so aufgeschrieben :
(81-79)(81+79)= 81^2 - 79^2 = 320
Aber das kann doch gar nicht hinkommen,oder?
Aber das kann doch gar nicht hinkommen,oder?
Da hast Du vollkommen Recht. Was Du da ausgerechnet hast, ist
(81-79)(81+79) = 2·160.
Was schneller ohne die 3BF geht, aber, was wichtiger ist, mit der Aufgabenstellung nichts zu tun hat.
Bei der 3BF geht es nicht darum, den kleineren Faktor (hier 79) vom größeren (hier 81) ein mal abzuziehen und einmal zu addieren, sondern den Mittelwert zwischen beiden Faktoren zu finden, und
(Mittelwert + Abweichung)·(Mittelwert – Abweichung)
zu rechnen, wobei
Mittelwert² – Abweichung²
herauskommt. Dabei ist es natürlich von Vorteil, wenn beide sich leicht quadrieren lassen.
Perfekte Antwort, Herr Willy :-)