Momentane Änderungsrate mit Differenzenquotient für f(x) = 1/3 x^3 + 1/4 x^2?

Ich soll für schule über differenzenquotient die lokale Änderungsrate für x=2 ausrechnen für

f(x) = 1/3 x^3 + 1/4 x^2 Kann da jemand helfen? Muss wohl Polynomdivision machen, oder? Binomische Formel is net.

Bitte die Community um Hilfe. Danke allen!

Answer 1

[evtldocha]

Ohne Ableitung, sondern als Grenzwert des Differenzenquotienten.

$\lim_{h\to0}=\frac{f\left(2+h\right)-f\left(2\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{3}\left(\left(2+h\right)^3-8\right)}{h}\ +\frac{\frac{1}{4}\left(2+h\right)^2-4}{h}=$ $\lim_{h\to0}\frac{1}{3}\frac{\left(3\cdot2^2\cdot h+3\cdot2\cdot h^2+h^3\right)}{h}+\frac{\frac{1}{4}\left(4\cdot h+h^2\right)}{h}=$

$\lim_{h\to0}\ 4+2h+\frac{1}{3}h^2+1+\frac{1}{4}h=4+1\ =5$

Dabei verwendet:

$\left(x+y\right)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

Nachtrag nach Kommentar: Die Polynomdivision des Differenzenquotienten sieht so aus: $\left(\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2-\frac{11}{3}\right):\left(x-2\right)=\frac{1}{3}x^2+\frac{11}{12}x+\frac{22}{12}$

Und damit: $\lim_{x\to2}\frac{1}{3}x^2+\frac{11}{12}x+\frac{22}{12}=\frac{4}{3}+\frac{22}{12}+\frac{22}{12}=\frac{16+22+22}{12}=5$

Comments

[Mathehilfesuche]

Oh, dankeschön! Das hilft mir sehr weiter! DANKE! DANKE! (Herz)

[Halbrecht]

@Mathehilfesuche

dann ist ja gut , obwohl du die Frage falsch gestellt hast

[Mattheson]

Vielen Dank. Ich bräuchte die Version mit x-x0-Methode. Sorry und Danke.

[evtldocha]

@Mattheson

Sorry, aber das hättest Du auch gleich aufschreiben können. Ich mach' jetzt den Aufschrieb dafür nicht nochmal. Außerdem bist Du nicht der Fragesteller.

[Mattheson]

@evtldocha

OK. Trotzdem vielen Dank für deine Mühe. Sorry, dass ich nicht deutlicher war.

[Halbrecht]

@evtldocha

doppelaccount !

[Mattheson]

@Halbrecht

Nee ... Bekannte auf der Suche .. :)

Answer 2

[GreenxPiece]

Differenzenquotient oder differentialquotient?

Alleine über den differenzenquotient ist es unmöglich die momentane Änderungsrate zu bestimmen. Damit kann man lediglich die durchschnittliche Änderungsrate zwischen 2 Stellen berechnen.

Über den differentialquotient geht es, den Erhältst du wenn du beim differenzenquotient den Abstand der beiden Stellen gegen 0 gehen lässt also den Grenzwert bildest. Das ist dann schlicht die Definition der Ableitung.

https://m.youtube.com/watch?v=_L6wmTzod_I

Comments

[Mattheson]

Ja, danke. Ich wollte nur wissen, ob es bei dieser konkreten Funktion auch einfacher geht als über Polynomdivision ... ich sehe keine andere Möglichkeit.

[GreenxPiece]

@Mattheson

Mit genau dieser Methodik kommst du um die PD nicht rum.

[Mattheson]

@GreenxPiece

Ja, das glaube ich auch. Danke für die Unterstützung!

Answer 3

[User10079]

Die Momentane Änderungsrate, ist die erste Ableitung . Dann setzt du bei f'(x) für das x=2 ein.

Also f'(2)

Dann hast du die Steigung an der Stelle 2.

Comments

[Mattheson]

Trotzdem danke!

[Mattheson]

Ja, das weiß ich auch, sorry, die Aufgabe soll mit dem Differenzenquotienten gelöst werden. Das ist aufwändig, weil ja dann im Nenner x - 2 steht, aber im Zähler x^3 und x^2 stehen und eine zahl ohne x, da komme ich doch nur mit Polynomdivision weiter ...???