lokale Änderungsrate von der Funktion y= 1/3 x^3 - 2x^2 +9 in dem Punkt P(0/9)?

Hallo,

Kann mir vielleicht jemand helfen, was die lokale Änderungsrate von der Funktion y= 1/3 x^3 - 2x^2 +9 in dem Punkt P(0/9) ist? Die Formel dazu ist ja f(a+h) - f(a) / h.

Danke!!

Answer 1

[KuarThePirat]

Die lokale Änderungsrate ist die Steigung der Funktion in diesem Punkt. Dafür bildest Du einfach die erste Ableitung:

$f'\left(x\right)=x^2-4x$

Du setzt für x den Wert des Punktes P ein und bekommst:

$y=0^2-4\cdot0=0$

Die lokale Änderungsrate ist also 0.

Comments

[student2304]

Ja, das hatte ich auch erst so. Aber da wird das ja nicht mit der Formel f(a+h) - f(a) / h berechnet. Weil damit kommt ein komplett anderes Ergebnis.

[KuarThePirat]

@student2304

Warum sollte ich mit der Formel rechnen wollen? Die Ableitung liefert ja direkt das Ergebnis.

[DerRoll]

@student2304

Dann stelle deine Berechnung doch mal hier ein.

Answer 2

[evtldocha]

Die Formel dazu ist ja f(a+h) - f(a) / h.

Nein, das ist falsch. Die Rechnung wäre den Grenzwert $\lim_{h\to0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$ zu bestimmen, um die lokale Änderungsrate am Punkt P(a | f(a)) zu erhalten.

Dann machen wir das für den Punkt P(0 | f(0)) = P(0 | 9):

$\lim_{h\to0}\ \frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\lim_{h\to0}\ \frac{\frac{1}{3}h^3-2h^2+9\ -\frac{1}{3}\cdot0^3+2\cdot0^2-9}{h}\ =$

$\lim_{h\to0}\ \frac{\frac{1}{3}h^3-2h^2}{h}=\lim_{h\to0}\ \frac{1}{3}h^2-2h\ =0$

Die lokale Änderungsrate am Punkt P(0|9) ist also 0. Oder anders: Die Tangente an den Graphen der Funktion ist waagerecht (hat die Steigung 0).

Skizze:

Comments

[student2304]

Wow, danke. Das hat mir echt weitergeholfen!