Unterschied zwischen Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate?
Es gibt einmal diese Formel: f(x2) - f(x1) / x2 - x1 und dann gibt es noch diese: f(x0 + h) - f(x0) / h . Welche ist jetzt wofür? (Beispiele wären hilfreich)
3 Antworten
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Du kannst bei einem Funktionsgraphen 2 Punkte durch eine gerade miteinander verbinden. Die Steigung dieser Gerade entspricht der mittleren Änderungsrate, also deiner ersten Formel. Die 2. Formel ist so nicht ganz vollständig, es fehlt lim h->0. Anschaulich gesehen betrachtest du die mittlere Änderungsrate zwischen dem Punkt an der Stelle x und dem Punkt an der Stelle x+h. Nun nimmt man den Grenzwert, sodass sich x+h immer mehr dem x annähert. Das Ergebnis ist die Steigung an der Stelle x. Dies würde der Steigung der Tangente (Gerade, welche den Funktionsgraphen nur berührt, nicht schneidet) an der Stelle x entsprechen.
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Gleichwertig: x2 - x1 = h.
Welche ist jetzt wofür?
Zur Grenzwertbestimmung ist es hilfreich, den Nenner zu kürzen. Das ist mal mit der einen, mal mit der anderen Formel besser zu machen...
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Mal abgesehen davon, dass du in beiden FOrmeln wichtige Klammern weggelassen hast, arbeitet die eine Formel einfach mit zwei x-Werten und die andere eben mit einem x-Wert und der Schrittweite (in x-Richtung) zum anderen Punkt. Sonst ist das dasselbe.