Mathematik: Wie bilde ich das Cauchy-Produkt folgender Reihe?
Hallo. Wie bilde ich das Cauchy Produkt der folgende Reihen im Bild. Undzwar muss ich das Cauchy Produkt auf Konvergenz untersuchen . Ich weiß die Formel für die Bildung des Cauchy Produkt. Jedoch weis ich nicht wie ich es für die beiden Reihen im Bild anwenden soll. Irgendjemand eine Idee? Danke
1 Antwort
Hallo,
schreib die Reihen doch so:
und dann wende die Formel für das Produkt an:
Am besten die ersten 4-5 Glieder des Cauchyprodukts mal explizit aufschreiben, um zu sehen, wie das aussieht.
Gruß
aber a0 ist doch gleich 3^0 = 1? Und b0 = 2^0 = 1 ???
Nein. Die Summe fängt ja mit a1 an. Ich habe die 3, die vor der Summe steht, in die Summe reingeschrieben und definiere a0 := 3. Die Summe lautet jetzt
a0 + a1 + a2 + ... + a k + ... = 3 + 3¹ + 3² + ... + 3^k + ...
Das gleiche mit der zweiten Summe. Ich schreibe die -2 die vor der Summe steht in die Summe rein und definiere b0 := -2 . Die Summe lautet jetzt
b0 + b1 + b2 + ... + bk + ... = -2 + 2¹ + 2² + ... + 2^k + ...
Das ist ein Trick um die Cauchy-Formel anwenden zu können.
Ich hab als Ergebnis das das Cauchy Produkt gegen null konvergiert ist das richtig ?
Hallo, ich bin gerade erst online gekommen.
Ich finde folgendes: c0 = -6 und alle anderen cn sind Null.
Also ist das Resultat des Cauchy-Produkts -6 .
Das müsste man dann noch per vollständiger Induktion zeigen.
Hier mal die ersten 5 Glieder der beiden Reihen
a0, a1, a2, a3, a4 und
b0, b1, b2, b3, b4 :
3 , 3¹ , 3² , 3³, 3⁴
-2 , 2¹ , 2² , 2³ , 2⁴
Und nun die Cauchy-Glieder:
c0 = a0 • b0 = 3 • (-2) = -6
c1 = a0 • b1 + a1 • b0 = 3 •2¹ - 2 • 3¹ = 0
c2 = a0 •b2 + a1 •b1 + a2 • b0 = 3 •2² + 3¹ •2¹ + 3² • (-2) = 12 + 6 - 2 • 9 = 0
c3 = a0 • b3 + a1 •b2 + a2 • b1 + a3 • b0 =
3 • 2³ + 3¹ • 2² + 3² • 2¹ - 3³ • 2 = 0
c4 = a0 • b4 + a1 • b3 + a2 • b2 + a3 • b1 + a4 • b0 =
3 •2⁴ + 3¹ • 2³ + 3² • 2² + 3³ • 2¹ - 3⁴ • 2 = 0
usw.
Ich sehe gerade, hier (Matheplanet) sind noch einige Hinweise.