mathematik integralrechnung beispiel schwer?
Bitte hilfe bei diesem beispiel gibt zwar lösung aber kein rechenweg ist schwer leider
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Beginne mit der linken Parabel und nehme als Basis die Scheitelpunktform. Nutze die Koordinaten von S, um die Scheitelpunktform aufzustellen und setze die Koordinaten von Q ein, um den Steigungsfaktor a zu bestimmen.
Setze den x-Wert von P ein, um den zugehörigen y-Wert von P zu bestimmen.
Die Ableitung liefert die Steigung in P. Das ist auch die Steigung in P für die rechte Parabel.
Gehe für die rechte Parabel von der Normalform aus und leite diese ab. Mit P, N und der Steigung in P kannst Du drei Gleichungen aufstellen, um die unbekannten Parameter a, b und c der zweiten Parabel zu bestimmen.
Damit liegen die notwendigen Werte für die Integralrechnung (Volumenberechnung) vor.
...
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Zunächst einmal solltest du die beiden Funktionsgleichungen finden.
Für den ersten Abschnitt...
Mit dem Scheitelpunkt S(1,5|1,5) erhält man den folgenden Ansatz in Scheitelpunktform...
Außerdem soll die Funktion durch den Punkt Q(0|3) verlaufen...
Dementsprechend erhält man als Funktionsgleichung für den ersten Abschnitt...
Als y-Koordinate des Punktes P( 2,25 | y[P] ) erhält man...
Für die Tangentensteigung am Punkt P wird zunächst die erste Ableitung von f₁ gebildet...
... und dort die Stelle x = 2,25 (x-Koordinate des Punkte P) eingesetzt...
Ansatz für den zweiten Abschnitt...
Nun soll die Funktion durch die Punkte P(2,25|1,877) und N(4,5|0) verlaufen, und am Punkt P die gleiche Tangentensteigung (= 1) wie zuvor haben. Also...
Also...
Also...
Als Lösung dieses linearen Gleichungssystems erhält man...
Also...
Für das Rotationsvolumen (bei Rotation um die x-Achse) erhält man nun...
Da die Längenangaben in cm sind, ist das Volumen in cm³. Multipliziert man das Volumen mit der Dichte erhält man die Masse...
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Rammstein53/1615404814643_nmmslarge__0_0_346_346_2e08198db203389692d6d8287572496d.png?v=1615404815000)
Parabel 1, Scheitel im Punkt S:
erster Ansatz: n*(x - 1.5)² + 1.5
f(0) = 3 --> n = 2/3
f(x) = 2/3*(x - 1.5)² + 1.5
Parabel 2:
g(x) = a*x² + b*x + c
g(2.25) = a*2.25² + b*2.25 + c = f(2.25) = 1.875
g'(2.25) = 2a*2.25 + b = f'(2.25) = 1
g(4.5) = a*4.5² + b*4.5 + c = 0
LGS mit drei Gleichungen für drei Unbekannte
Lösung a = -22/27, b = 14/3, c = -9/2
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Volumenintegral:
V1 = π * Integral[0, 2.25] f(x)² dx
V2 = π * Integral[2.25, 4] g(x)² dx
Die Stammfunktion von f(x)² lautet
F(x) = 4/45*x^5 - 2/3*x^4 +8/3*x^3 - 6*x^2 + 9*x + C
Die Stammfunktion von g(x)² lautet
G(x) = 484/3645*x^5 - 154/81*x^4 + 262/27*x^3 - 21*x^2 + 81/4*x + C
π * (F(2.25) - F(0) + G(4) - G(2.25)) ~ 46.7173 Einheiten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Du musst zuerst f bestimmen, das ist eine klassische Steckbriefaufgabe:
f(x) = ax² + bx + c
f(0) = 3
f(1,5) =1,5
f'(1,5) = 0
Dann kannst du y_p = f(2,25) bestimmen und auch die Steigung der Tangente an dieser Stelle, m= f'(2,25).
Damit hast du für die zweite Funktion die Werte
g(2,25) = y_p = f(2,25)
g'(2,25) = m = f'(2,25)
g(4,5) = 0
Und damit kannst du auch g bestimmen.
Jetzt noch stückweise das Rotationsintegral.