Mathematik-Aufgabe! Hilfe! :'((( %#
Die Aufgabe lautet: '"Antreten in 2er Reihen" - Ein Soldat bleibt übrig "Antreten in 3er Reihen" - Ein Soldat bleibt wieder übrig "Antreten in 4er Reihen" - Ein Soldat bleibt wieder übrig "Antreten in 5er Reihen" - Ein Soldat bleibt wieder übrig "Antreten in 6er Reihen" - Ein Soldat bleibt wieder übrig "Antreten in 7er Reihen" - Endlich, alle stehen in Reih und Glied. Wie viele Soldaten sind es mindestens?'
Könnt ihr mir bitte helfen? ich probiere die Aufgabe nun schon seit 1 Stunde, aber komme nicht darauf :(
6 Antworten
Nun, das Antreten einer bestimmten Anzahl Soldaten in Reihen einer bestimmten Länge entspricht einer Division der Soldatenanzahl durch die Länge der Reihen.
Wenn bei der Division einer gesuchten Zahl x durch 2, durch 3, durch 4, durch 5 und durch 6 jeweils genau ein Soldat übrigbleibt, bei der Division durch 7 jedoch nicht, dann muss offenbar gelten:
Bedingung 1) Der Vorgänger z = x - 1 der gesuchten Zahl x ist durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar und
Bedingung 2) Die gesuchte Zahl x ist ein ganzzahliges Vielfaches von 7.
Zu 1:
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie durch 4 teilbar ist.
Damit eine Zahl durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist genügt es also, dass sie durch 3, 4 und 5 teilbar ist. Die kleinste Zahl z, die durch 3, 4 und 5 teilbar ist, ist das Produkt dieser Zahlen, also
z = 3 * 4 * 5 = 60
Dies ist somit auch die kleinste Zahl, die durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist.
Alle Zahlen, die durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar sind, müssen ganzzahlige Vielfache von z = 60 sein, also:
60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, ...
Diese Zahlen wiederum müssen gemäß Bedingung 1) Vorgänger der gesuchten Zahl x sein.
Da gemäß Bedingung 2) die Zahl x ganzzahlig durch 7 teilbar sein soll, sind also diejenigen Vielfachen von z gesucht, deren Nachfolger z + 1 ganzzahlig durch 7 teilbar ist. Kandidaten für die gesuchte Zahl x sind somit:
61, 121, 181, 241, 301, 361, 421, ...
Die kleinste dieser Zahlen, die ganzzahlig durch 7 teilbar ist, ist die Zahl 301.
Somit sind also mindestens x = 301 Soldaten anwesend.
Hallo...
Die Aufgabe kannst du mit logischem Denken lösen.
Feststeht, es muss eine ungerade Zahl sein, da jede gerade Zahl durch 2 teilbar ist. Somit fallen einige Zahlen schon mal weg.
Dann schauen wir was durch 7 teilbar ist, aber nicht durch 2, 3, 4, 5 oder 6.
Fangen wir mit 14 an. Die Zahl kann es nicht sein, da sie gerade ist. Die 15 ist nicht durch 7 teilbar. Die 17 auch nicht. Die nächste logische Zahl wäre erstmal 21. Die ist ungerade, allerdings durch 3 teilbar. Die 28 ist wieder gerade, die 35 durch 5 teilbar. Die 42 ist wieder gerade, die 49 ist allerdings eine sehr interessante Zahl in diesem Fall.
Du gehst immer weiter im kleinen Einmaleins mit der Zahl 7. Und schaust, genau wie ich, welche Zahl sich durch was teilen lässt, irgendwann kommst du auf das richtige Ergebnis.
Die Lösung ist 49.
Lg Lfy
91 ist auch nicht richtig, da 90 nicht durch 4 teilbar ist. Die Lösung ist 301.
Ok, lassen wir das. 301 kann stimmen, hab es jetzt nicht nachgerechnet, aber müsste hinkommen.
Ok ok Leute, 49 ist nicht korrekt, aber meine Erklärung :D
Gehen wir weiter...
56 kann es wieder nicht sein, da die Zahl gerade ist. 63 kann es auch nicht sein, da bei 5 dann drei übrig sind. 70 sowieso nicht. 77 funktioniert auch nicht, wieder wegen den Soldaten, die übrig bleiben. 84 ist gerade, 91 ist richtig :D
Dumm ist nur, dass bei 49 Soldaten bei den 5er Reihen nicht einer sondern gleich 4(!) übrig bleiben. ;-)
Ah mist, ihr habt Recht, ich muss nochmal nachdenken :D
Mit ein bisschen überlegen braucht man gar nicht so viele Zahlen auszuprobieren:
Die Zahl muss ungerade sein, weil sonst beim ersten Aufstellen niemand übrig geblieben wäre. Beim Aufstellen in 5-Reihen bleibt einer übrig, sie muss also auf 1 oder 6 enden, nur 1 ist ungerade, die Zahl endet also auf 3.
Eine Zahl, die durch 7 teilbar ist, lässt sich darstellen als
n * 7
Wenn diese Zahl dann auf 1 enden soll, muss n auf 3 enden. n darf aber z. B. nicht durch 3 teilbar sein, weil dann die ganze Zahl durch 3 teilbar ist.
n kann also 13, 23, 43, 53, ... usw. sein.
n=13 geht nicht, da dann 91 herauskommt - das stimmt nicht, weil bei den Viererreihen da 3 herauskäme.
n = 23 geht nicht, da kommt 161 heraus und dann haben wir bei den Sechserreihen 5 übrig.
n=43 macht 301 und das passt.
Hab dir DH gegeben. Eigentlich ist es sehr leicht. Aber wenn man in der Schule gerade erst an dem Punkt ist, an dem man Primfaktoren, kgV und ggT usw kennenlernt, da hat man noch zu kämpfen, da ist das erst mal noch ein Buch mit 7 Siegeln.
Danke für den Daumen! Mit der Zeit sieht man solche Wege, keine Sorge!
Oder ähnlich einfach:
Wenn x die gesuchte Zahl ist, dann muss x-1 durch 2, 3, 4, 5, 6 teilbar sein. Die kleinste Zahl, für die das gilt, ist 60. Jetzt suche ich ein Vielfaches von 60, addiere dazu eins und schaue, ob das durch 7 teilbar ist:
60 -> 61, nein
120 -> 121, nein
180 -> 181, nein
240 -> 241, nein
300 -> 301, Bingo.
Weniger als eine Minute im Kopf ... und dann Schmunzeln.
Wenn man systematisch rangeht, dann kommt man schnell dazu, dass es die Zahl 301 ist.
Es sind je 150 in 2er Reihe plus einer übrig, je 100 in 3er Reihe ebenfalls einer übrig, bei 4er Reihe sind es 75 und einer als Rest, wir bekommen 60 5er Reihen und wieder bleibt einer übrig, ..... uns siehe da, in 7er Reihen haben wir je 43 Soldaten und alle stehen aufgereiht da.
Mal kurz den Weg:
Mittels Primfaktoren kommt man schnell dahin, dass 60 das kgV von 2, 3, 4, 5 und 6 ist. Die Lösung muss also ein Vielfaches von 60 sein plus 1, also 61, 121, 181 usw...
Durch die 1 am Ende muss das Vielfache von 7 eine 3 am Ende haben, also 13, 23, 33, 43 ... damit erhalten wir immer ein Vielfaches von 70 plus 21. In Frage kommen also 91, 161. 231....
Und wenn wir das fortführen, dann kommen wir bei der 301 an. Das sind 43 mal 7 ... und wenn man den einen wegnimmt, dann ist die 300 ein Vielfaches von 60, also durch die anderen teilbar.
So geht man das ganze an.
z. B. 11 Soldaten. 5 zweier-Reihen und einer bleibt übrig. Wenn Du eine Elfer- Reihe nimmst, hast Du lediglich nur EINE Reihe und keine Reihen. ;-)
Die Zahl muss aber durch 7 teilbar sein und das ist die 11 nicht.
Stimmt auf jeden Fall ;)