Nun, das Antreten einer bestimmten Anzahl Soldaten in Reihen einer bestimmten Länge entspricht einer Division der Soldatenanzahl durch die Länge der Reihen.
Wenn bei der Division einer gesuchten Zahl x durch 2, durch 3, durch 4, durch 5 und durch 6 jeweils genau ein Soldat übrigbleibt, bei der Division durch 7 jedoch nicht, dann muss offenbar gelten:
Bedingung 1) Der Vorgänger z = x - 1 der gesuchten Zahl x ist durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar und
Bedingung 2) Die gesuchte Zahl x ist ein ganzzahliges Vielfaches von 7.
Zu 1:
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie durch 4 teilbar ist.
Damit eine Zahl durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist genügt es also, dass sie durch 3, 4 und 5 teilbar ist. Die kleinste Zahl z, die durch 3, 4 und 5 teilbar ist, ist das Produkt dieser Zahlen, also
z = 3 * 4 * 5 = 60
Dies ist somit auch die kleinste Zahl, die durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist.
Alle Zahlen, die durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar sind, müssen ganzzahlige Vielfache von z = 60 sein, also:
60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, ...
Diese Zahlen wiederum müssen gemäß Bedingung 1) Vorgänger der gesuchten Zahl x sein.
Da gemäß Bedingung 2) die Zahl x ganzzahlig durch 7 teilbar sein soll, sind also diejenigen Vielfachen von z gesucht, deren Nachfolger z + 1 ganzzahlig durch 7 teilbar ist. Kandidaten für die gesuchte Zahl x sind somit:
61, 121, 181, 241, 301, 361, 421, ...
Die kleinste dieser Zahlen, die ganzzahlig durch 7 teilbar ist, ist die Zahl 301.
Somit sind also mindestens x = 301 Soldaten anwesend.