Mathematik?

Bei einer Operation wird für die Narkose ein Medikament verwendet, das exponentiell abgebaut wird. Dabei halbiert sich die Menge des Wirkstoffs im Blut alle 40 Minuten.

a) Berechnen Sie den Zerfallsfaktor b auf vier Dezimalstellen genau.

Comments

[Tannibi]

Was ist denn bei euch der Zerfallsfaktor b?

[Jiggi538brb]

Wir rechnen mit der exponentialfunktion f(t)=a•b^t

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

40 Minuten sind 2/3 Stunde.

Nach Ablauf dieser Zeit ist noch die Hälfte des Wirkstoffs vorhanden.

Wenn Du die ursprüngliche Menge auf 1 setzt, hast Du die Gleichung
1*0,5^((2/3)*k)=0,5, was zu (2/3)k=1, also k=3/2 führt.

Faktor wäre demnach pro Stunde (t=1) 0,5^(3/2)=0,35355...

Nach einer Stunde sind demnach noch 35,36 % des Wirkstoffs vorhanden.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[Wechselfreund]

b^40 = 0,5

b ist die 40ste Wurzel aus 0,5, etwa 0,9828

falls mit Zerfallsfaktor das b gemeint ist und t in Minuten.

Answer 3

[trishanousang]

Ein ex exponentieller Zerfall beschreibt sich durch die Funktion:

f(t) = M * e-kt

Für eine Halbwertzeit h gilt:

f(h) = (1/2) * M

Setzen wir das also in die Funktion ein:

(1/2) * M = M * e-kh

Durch kürzen ergibt sich:

1/2 = e-kh

Der natürliche Logarithmus gibt uns:

-kh = ln(1/2) 

Die Konstante k ist damit:

k = -1/h * ln(1/2) 

Daraus folgt, dass mit h = 40min = 40/60h:

k = -1/(40/60) * ln(1/2) = -3/2 * ln(1/2) 

Der Zerfall ist klar aus den Einheiten ersichtlich. Die konstante Zeit für den Zerfall ist also k = 3/2ln(2) = 2.0791h^-1

Da jedoch nach dem Zerfallsfaktor gefragt war:

Der Zerfallsfaktor erfolgt über die zuvor definierte Funktion f(t):

f(t) = e-kt 

Mit e = 2.718281828 und setzen wir nun t = t_1/2

\[ f(t) = e^{-3/2(40/60)}\\ = .5 \]

Answer 4

[Franz1957]

Wir rechnen mit der exponentialfunktion f(t)=a•b^t

Eine Zeit, also eine dimensionsbehaftete Größe, als Exponent? Das ist zwar mathematischer Murks, aber man sieht solche Sachen im beruflichen Fachrechnen ziemlich oft.

Es muss dann halt immer dazugesagt werden, daß die verwendeten Größen "in" der und der Einheit sein sollen.

Hier hat jemand genau Deine Aufgabe vorgerechnet:

https://www.mathelounge.de/703050/medikament-zerfall-abbau

Da steht:

1) Berechne den Zerfallsfaktor b in der Einheit 1/min auf 4 Dezimalstellen.

    b=(1-0,5) ^(1/40) = 0,9828

Mich gruselt es immer, wenn ich so etwas sehe, aber es ist vermutlich genau das, was Du machen sollst.

(So wird leider nicht gezeigt, wie man im naturwissenschaftlichen Rechnen richtig mit Einheiten umgeht. Vielleicht, weil man es den Auszubildenden nicht zutraut.)