Matheaufgabe: Gedrehten Punkt berechnen, geht das?
gegeben ist ein punkt A in einem koordinatensystem. die koordinaten sind x = 2 und y = 6. dieser punkt soll über den nullpunkt um 45° nach rechts verlaufend gedreht werden (punkt b). ist es dann möglich, die koordinaten des verschobenen punktes zu errechnen? wenn ja, wie?
siehe dazu die angehangene skizze. die angegebenen x- und y-werte von punkt b sind nur pi-mal-daumen. achtung fehler: die in klammern-agegebenen werte hinter A müssen nicht 2 und 5 , sondern 2 und 6 lauten. sorry.
en und sollen rechnerisch exakt ermittelt werden.
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Hallo,
über den arctan (5/2) ermittelst Du den Winkel von Punkt (2|5), Rechner dabei auf grad einstellen.
Über des Satz des Pythagoras bekommst Du die Länge des Zeigers vom Koordinatenursprung zu (2|5): Wurzel (2²+5²)=Wurzel (29).
Ziehe 45° vom ermittelten Winkel ab und Du erhältst den Winkel des neuen Punktes.
Nenne den Winkel beta (oder wie auch immer).
x-Koordinate des durch Drehung erhaltenen Punktes: Wurzel (29)*cos (beta);
y-Koordinate: Wurzel (29)*sin (beta).
Zur Kontrolle: P'=(4,949747468|2,121320344).
Die Koordinaten aus Deiner Zeichnung sind falsch.
Herzliche Grüße,
Willy
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Dann kannst Du es trotzdem auf die gleiche Art berechnen, nur daß Du nun arctan (6/2=3) eingibst und von diesem Winkel 45° abziehst. Außerdem ändert sich natürlich die Länge des Zeigers auf Wurzel (40).
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ok. ich fasse mal zusammen:
arctan(6/2) = 71,5650 grad minus 45 grad = 26,565 grad
länge zeiger ist 2² + 6² = 40, davon die wurzel = 6,3245
soweit, so gut.
wenn ich aber jetzt für den x-wert 6,3245 * cos (26,565) rechne, komme ich auf 0,9040, und nicht wie du auf den korrekten wert von 5,65. wo ist mein fehler?
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Hast Du den Rechner auf grad eingestellt? Wurzel (40)*cos (26,565)=5,657
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jetzt hab ichs. vielen dank. ein taschenrechner alleine liefert keine richtigen ergebnisse. man muss ihn auch richtig bedienen können. vielen dank. du hast mir sehr geholfen.
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konntest du anhand deiner beschreibung und der korrekten koordinaten eine komplette beispielrechnung schreiben?
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ahhh. moment. du hast ja mit 2 und 5 und nicht mit 2 und 6 gerechnet.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Weiß ich schon. Ändert aber nichts an der grundlegenden Methode.
Über den Arkustangens den Winkel bestimmen, 45° abziehen.
Mit Hilfe des Pythagoras, Sinus und Kosinus die neuen Koordinaten bestimmen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wenn man den Punkt (x ; y) um den Winkel Phi dreht, sind die neuen Koordinaten
x' = x * cos(Phi) - y * sin(Phi)
y' = x * sin(Phi) + y * cos(Phi)
Vorsicht: Hier ist Phi = -45° weil in mathematisch negativer Richtung gedreht wird.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Zur Herleitung der Transformationsformel (für den Fragesteller):
Sei x = a * cos(Alpha) und y = a * sin(Alpha)
Dann ist (Additionstheoreme)
x' = a * cos(Alpha + Phi) = a * cos(Alpha) * cos(Phi) - a * sin(Alpha) * sin(Phi)
und
y' = a * sin(Alpha + Phi) = a * sin(Alpha) * cos(Phi) + a * cos(Alpha) * sin(Phi)
Ersetzen von a * cos(Alpha) = x und a * sin(Alpha) = y ergibt
x' = x * cos(Phi) - y * sin(Phi)
y' = y * cos(Phi) + x * sin(Phi)
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
sehr kompakt. danke dir. hier das vorläufige endergebnis in vb.net:
Dim pt() As Double = main(6, 2, -45)
Debug.Print(pt(0) & vbTab & pt(1))
Function main(ByVal x As Integer, ByVal y As Integer, ByVal w As Integer) As Double()
Dim pt() As Double = {0, 0}
Dim tmp As Double = w * (Math.PI / 180)
pt(0) = x * Math.Cos(tmp) - y * Math.Sin(tmp)
pt(1) = x * Math.Sin(tmp) + y * Math.Cos(tmp)
Return pt
End Function
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/12_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Sollte leicht über den Pythagoras und die Definitionen von Sinus oder Cosinus gehen.
Die Länge des Ortsvektors zu A bestimmst du mit dem Pythagoras, da du ja in dem Dreieck (Ursprung, A, Lotpunkt von A auf die x-Achse) die beiden Katheten kennst.
Dann kannst du den Winkel berechnen, den der Ortsvektor A mit der x-Achse bildet und somit hast du den Winkel vom Ortsvektor B mit der x-Achse.
Dann über den Sinus dieses Winkels die y-Koordinate von B und über den Cosinus die x-Koordinate von B.
Fertig!
die koordinaten des punktes a sind 2 und 6 und nicht 2 und 5. das ist korrekt. warte noch. ich bin noch beim durchdenken...