Position eines Punktes im Koordinatensystem berechnen
Wie finde ich die Position eines Punktes in einem Koordinatensystem heraus, wenn ich dessen Entfernung und den Winkel zu einer Geraden kenne (siehe Skizze). Vielen Dank im Vorraus!
Link zur Skizze: http://s7.directupload.net/file/d/3121/ub9do4ms_png.htm
7 Antworten
Der bisherige Verlauf der Beantwortung enthält die Lösung, erscheint aber irgendwie wenig am eigentlichen Belang des Fragestellers orientiert...
A. Laut Zeichnung würde ich stillschweigend davon ausgehen, dass ein Koordinatensystem gemeint ist, für das der die Länge Strichs die Entfernung ist, und der dicke Strich eine y-Achse.
Ferner nehme ich an, dass zu der y-Achse (auf übliche Weise) eine x-Achse so gedacht werden soll, dass die y-Achse zu dieser einen Winkel von +90° einnimmt.
B. Unter diesen zusätzlichen Voraussetzungen ist, wie auch schon mehr oder minder klar von anderen geschrieben, abhängig von einer Entfernung r und wenn der gemessene Winkel phi heißt:
x = r * sin(phi),
y = r * cos(phi),
womit eine Formel gegeben wäre. Für die angegebenen Beispielwerte wäre das:
x = 13,5 * sin(70°) cm = 3,3 cm;
y = 13,5 * cos(70°) cm = 1,2 cm;
C. Nun möge der Fragesteller prüfen, ob die oben genannten Annahmen denn stimmen. Denn genau dann stimmt auch die Formel.
psychironiker
Erst einmal Entschuldigung, die Formeln stimmen zwar, aber die Werte sind einfach Müll (wie mir heute schon beim Drübersehen in etwas wacherem Zustand auffällt). Noch einmal etwas früher am Tage, und mit getesteten Programm:
x = 5,5 cm * sin(70°) = 5,2 (cm) y = 5,5 cm * cos(70°) = 1,9 (cm)
Ansonsten kommt es darauf an, wie du das Koordinatensystem legst. Für den zuletzt angegebenen Link berechnen die angegeben Formeln x- und y-Koordinate, wenn der Koordinatenursprung am Ende des senkrechten schwarzen Balkens in der Bildmitte liegt UND wie gewohnt von dort aus die y-Achse senkrecht nach oben und die x-Achse im rechten Winkel dazu nach rechts geht UND die Winkel wie eingezeichnet im (mathematisch negativen) Uhrzeigersinn angegeben werden (was in mathematischer Literatur ungewöhnlich ist).
psychironiker
Also um das klar zu stellen:
Es gibt definitiv keine Möglichkeit, die gegebenen Informationen in eine Formel einzusetzen, um zur Lösung zu kommen?
Nicht, wenn du nicht auch den Ausgangspunkt kennst, in dem du im Winkel xy abzweigst. Sonst gibt es natürlich Formeln. Wobei du im Grunde für jede Koordinate des gesuchten Punktes (x/y/z) eine eigene Formel brauchst - diese Formeln fasst man üblicherweise mittels Matrizen und Vektoren zusammen, ist eleganter.
Wo finde ich diese Formeln, hast du vielleicht einen Link parat?
appletman hat's im Grunde schon geschrieben.
y = sin(a)*r
x = cos(a)*r
Wobei der Winkel gegen den Uhrzeigersinn und zur x-Achse (genauer: im Ursprung) gemessen wird. In deinem Bild also eben nicht a, sondern 90° - a.
Für beliebige Ausgangspunkte (anders als (0/0)) und beliebige Geraden (anders als die x- oder y-Achse) wirds komplexer. Geht aber alles.
Hallo, ich fürchte, einen Punkt im Raum kann man nicht nur durch einen Winkel und die Entfernung zum Ursprung angeben!!! Außerdem ist es üblich, den Winkel zur Horizontalen anzugeben. Aber nehmen wir mal an, dein Punkt liege auf der x-y-Ebene. Dann gilt nach Pythagoras: r² = x² + y².
Wird der Winkel von der (horizontalen) x-Achse aus abgetragen, so gilt ja:
sin (alpha) = y/r oder auch:
cos (alpha) = x/r.
Der Winkel alpha wäre dann aber 90° - dein Winkel!
Warum sollte es denn nicht funktionieren? Mit den Informationen sollte man das berechnen können, ich weiß nur nicht wie.
Im Raum brauchst halt 2 Winkel und die Entfernung zum Ursprung. Nennt man Polarkoordinaten. In der Ebene (2D) langt natürlich ein Winkel.
Also wie in diesem Bild? http://s14.directupload.net/file/d/3121/6o6jugd3_png.htm
Den oberen Winkel habe ich auch!
Nein, nicht so. Der obere Winkel bringt dir genausoviel wie der untere. D.h. du brauchst den Punkt, in dem der Winkel gemessen wird! Wenn du den bei beiden hast kannst du bei zwei Winkeln dann die Entfernungen weglassen, die kann man dann berechnen.
So meinte ich: http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten
Menschenskind, du brauchst den Höhenwinkel, von der horizontalen x-Achse aus gemessen, dann den Winkel, der angibt, um wieviel Grad der Punkt von der x-y-Ebene weggedreht ist, und die Entfernung zum Ursprung, denn die beiden Winkel beschreiben noch nicht die Länge der Verbindungslinie zum Ursprung!
:-D
Und man muss voraussetzen dass er überhaupt vom Ursprung ausgeht. Sonst braucht man nämlich auch noch den Ausgangspunkt und sämtliche Formeln werden eine Stufe hässlicher.
Aber das ist doch gar kein Raum! Das ist alles 2D, wie kommt ihr den alle auf 3D???
Hallo noch mal, wenn wir uns nur in einer Ebene befinden, reicht natürlich der Betrag der Entfernung des Punktes vom Ursprung und der Winkel, von der x-Achse ausgehend. Das mit den 2 Winkeln und dem Betrag galt für räumliche Polarkoordinaten, auch Kugelkoordinaten genannt. Meine Rechnung weiter oben stimmt dann aber. Die Formeln für Kugelkoordinaten sehen nämlich tatsächlich viel hässlicher aus, wie sich ArchEnema auszudrücken pflegte. Den Winkel trage aber bitte trotzdem von der Horizontalen ab, das ist so üblich. Im Bronstein (Taschenbuch der Mathematik) habe ich zwar eine Skizze wie deine gefunden, dort wurde der Winkel theta aber gegen die z-Achse abgetragen, es ging dort um echte Kugelkoordinaten. Dort braucht man in der Tat noch einen 2. Winkel!
In der Ebene ist r = Wurzel(x² + y²), im Raum ist r = Wurzel(x² + y² + z²)
Das geht nicht. Du weißt ja nicht, an welcher Stelle der Geraden du im gegebenen Winkel "abzweigen" musst. Wenn du diesen Punkt kennst geht es natürlich. Da nimmt man eine 2- oder 3-dimensionale Rotationsmatrix (entsprechend dem Winkel) für, mit der man den Richtungsvektor der Geraden rotiert. Außerdem normiert man den Vektor auf die Länge, die dem gegebenen Abstand entspricht.
Wenn es keine Ursprungsgerade ist, dann kannst du das nicht berechnen...
Wenn es eine ist, dann geht's so:
wenn du dir noch eine senkrechte Linie auf die y-Achse denkst, die durch den Punkt geht, hast du ein rechtwinkliges Dreieck. Dann kannst du mit sin (Gegenkathete/Hypothenuse) die Länge von dieser Linie (Gegenkathete) berechnen. Die Hypothenuse ist in dem Fall ja die Entfernung. Die Länge ist dann auch die x-Koordinate des Punkts.
Wenn du dann cosinus von dem Winkel nimmst bzw. sinus von (90° - Winkel) kannst du damit die y-Koordinate berechnen :)
Ich hab mal ein bisschen darüber nachgedacht, aber so ganz verstehe ich es nicht. angenommen, die entfernung ist 5,5 (cm zum beispiel) und der winkel ist 70°. Wie sieht dann die Formel zur Berechnung der Position aus? Das ganze ist nämlich für ein Computerspiel gedacht und da bräuchte ich eine Formel.
Meine Antwort kommt jetzt vielleicht ein wenig spät...
Man gibt den Punkt ja so an P(x/y)
Entfernung: e ; Winkel: w
x= sin(w) * e
y = cos(w) * e
Also, vielleicht verdeutlicht dieses Bild besser, worauf ich hinaus will: http://s1.directupload.net/file/d/3122/p8mfchor_png.htm
Bei dem Computerspiel, um das es sich handelt, sollen per Mausklick Objekte (von der Mitte des Bildschirms aus) "weggeschossen" werden, und zwar immer in Richtung des Mauszeigers. Mit jedem Zeitschritt wird die Entfernung aller Objekte um eins erhöht.
Der Winkel befindet sich hier in einer Spanne von 0 bis 359°.
Deine Annahmen stimmen (soweit ich das beurteilen kann) alle. Allerdings ist r laut meinem Beispiel 5,5 und nicht 13,5.