Mathe partialbruch?
Kann mir jemand bei der 3) helfen? Das ist mit Partialbruchzerlegung.
danke im vorraus
6 Antworten
zu 3)
Polynomdivision führt zu:
x^4 / ((x - 1) * (x + 1))² = 1 + ((2x² - 1) / (x^4 - 2x² + 1))
Partialbruchzerlegung führt zu:
1 + ((2x² - 1) / (x^4 - 2x² + 1)) =
1 + (3/4) * 1/(x - 1) + (1/4) * (1/(x - 1)²) + (-3/4) * 1/(x + 1) + (1/4) * (1/(x + 1)²)
siehe hierzu (mit Erläuterung):
https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm
∫(1 + (3/4) * 1/(x - 1) + (1/4) * (1/(x - 1)²) + (-3/4) * 1/(x + 1) + (1/4) * (1/(x + 1)²)) dx =
(x/(2 - 2x²)) + x + (3/4) * ln(1 - x) - (3/4) * ln(x + 1) + C
x⁴/((x-1)*(x+1)²)
Nullstellen des Nenners x1=1 und x2=-1 doppelte Nullstelle (berührt nur die x-Achse)
siehe Mathe-Formelbuch Integralrechnung,Partialbruchzerlegung
hier haben wir den Fall 2:
f(x)/g(x) Die Wurzeln der Gleichung g(x) sind reell (schneiden die x-Achse) ,treten aber mehrfach auf (x1 n-mal und x2 m-mal)
hier x1=1 n=1 und x2=-1 hier m=2
f(x)/g(x)=A/(x-x1)+B2/(x-x2)+C/(x-x2) erweitert mit Hauptnenner HN/HN=1
HN=(x-1)*(x+1)²
1*x⁴+0*x³+0*x²+0*x+0*x⁰=A*(....)+B*(....)+C*(...))/HN
nun A,B und C über den Koeffizientenvergleich gleicher Potenzen von x ermitteln.
Integral(x⁴/((x-1)*(x+1)²*dx= Integral A/(x-1)*dx+Integral (B/(x+1)²*dx+Integral)C/(x+1)*dx
=A*Integral(1/(x-1)*dx)+B*(1/(x+1)²*dx+C*Integral(1/(x+1)*dx
Das ist alles ziemlich viel Rechnerei und für mich zu aufwendig und außerdem habe ich solch eine Aufgabe lange nicht mehr gerechnet.
Den Rest schaffst du hoffentlich selber.
Hallo,
forme den Nenner zu (x²-1)²=x^4-2x^2+1 um (3. binomische Formel und 2. binomische Formel) und führe eine Polynomdivision durch:
x^4:(x^4-2x^2+1)=1+(2x^2-1)/(x²-1)².
Nun kannst Du die 1 schon einmal abtrennen und extra integrieren.
2x²-1=2(x²-1)+1.
So kommst Du zu 1+[2(x²-1)](x²-1)²+1/(x²-1)²=1+2/[(x+1)*(x-1)]+1/(x²-1)².
Nun kannst Du sinnvoll eine Partialbruchzerlegung durchführen.
Herzliche Grüße,
Willy
Führe zunächst eine Partialbruchzerlegung durch. Der Ansatz ist im konkreten Fall...
Multipliziere mit ((x - 1) ⋅ (x + 1))², um die Brüche loszuwerden. Sortiere dann nach Potenzen von x und führe einen Koeffizientenvergleich durch. Damit kann man dann die Werte für A, B, C, D bestimmen.
Rechnung: https://i.imgur.com/1eazJTu.png
Ergebnis der Partialbruchzerlegung:
Dann solltest du relativ leicht Stammfunktionen zu den einzelnen Summanden erkennen können.
Evtl. könnte dich verwirren, warum da am Ende noch so ein „+ E“ beim Ansatz benötigt wird. Dies liegt daran, dass bei x⁴/((x - 1) ⋅ (x + 1))² der Zählergrad nicht kleiner als der Nennergrad ist.
Die Differenz zwischen Zähler- und Nennergrad ist 4 - 4 = 0. Daher benötigt man bei der Partialbruchzerlegung zusätzlich noch ein Polynom 0-ten Grades, also eine Konstante, welche ich hier E benannt habe.
Das könnte man umgehen, indem man zunächst mit Polynomdivision
x⁴/((x - 1) ⋅ (x + 1))² = 1 + (2x² - 1)/((x - 1) ⋅ (x + 1))²
ermittelt und dann das „1 + “ stehen lässt und für (2x² - 1)/((x - 1) ⋅ (x + 1))² dann weiter eine Partialbruchzerlegung durchführt, wobei dann bei (2x² - 1)/((x - 1) ⋅ (x + 1))² der Zählergrad kleiner ist als der Nennergrad.
Ansatz:
x^4 / ( (x-1) (x+1) )^2
= A / (x-1) + B / (x-1)^2 + C / (x+1) + D / (x+1)^2
wobei A, B, C und D Polynome in x sind
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Es gibt einfachere Methoden, aber diese hier kann ich mir zuverlässig merken
Aber was setzte ich als Nullstellen ein ? Um A B C D rauszubekommen. Ich hab nur B&D