Partialbruchzerlegung Zählergrad = Nennergrad?
Hallo!
Ich soll eine Partialbruchzerlegung für (2x -1)/(x-1) durchführen und weiß aber leider nicht wie ich das in diesem Fall mache!
Danke
2 Antworten
Hallo,
im Grunde ist diese Methode hier unsinnig, weil Du ohnehin zunächst eine Polynomdivision durchführen mußt, die Dich direkt zum Ziel bringt.
Um die Partialbruchzerlegung anwenden zu können, muß die höchste Potenz von x im Nenner größer sein als im Zähler, was hier nicht der Fall ist.
Du teilst also zunächst 2x-1 durch x-1, was 2+1/(x-1) ergibt.
Hier bist Du im Grunde schon fertig, denn Du kannst das Integral nun auf seine beiden Summanden aufteilen und einzeln integrieren:
F(x)=2x+ln|x-1|+C
Wenn es unbedingt die Partialbruchzerlegung sein soll, kann es nur noch um den Polynomrest 1/(x-1) gehen, den Du zunächst mit (x+1)/(x+1) erweitern mußt, denn Du brauchst im Nenner ein Produkt.
Also (x+1)/[(x-1)*(x+1)]
Das ergibt A/(x-1)+B/(x+1)
Alles auf einen Nenner bringen:
[A(x+1)+B((x-1)]/[(x+1)*(x-1)]=(x+1)/[(x-1)*(x+1)]
Der Nenner hebt sich auf. Es bleibt: A(x+1)+B(x-1)=x+1
Ax+A+Bx-B=x+1
x*(A+B)+A-B=x+1
Koeffizientenvergleich:
A+B=1
A-B=1
A=1-B
1-B-B=1
2B=0, B=0
A=1
Das bringt Dich auf f(x)=1/(x-1), der zweite Summand fällt weg, weil B=0 ist.
So bist Du wieder da, wo Du nach der Polynomdivision warst:
f(x)=2+1/(x-1)
Herzliche Grüße,
Willy
Die einfachste Zerlegung wäre die in die zwei Summanden des Zählers:
(2x -1)/(x-1) = 2x/(x-1) - 1/(x-1)
Wenn der Nenner irgendein Binom gewesen wäre, hätte es natürlich Spaß gemacht, dieses zu zerlegen und den Bruch zu faktorisieren.
Zum Spielen könnte man natürlich den Nenner nach der 3. Binomischen Regel zerlegen:
(√x + 1) (√x - 1)
Wie gesagt: zum Spielen, - weil man's kann. Es brächte hier nichts ...