Polynomdivision und Partialbruchzerlegung bei diesem Beispiel?
Moin,
ich habe als übung diese gleichung
ich möchte jetzt keine lösung von euch zu der aufgabe, sondern eher eine art "anleitung" wie ich da jetzt beginne.
Danke schonmal
4 Antworten
Um feststellen zu können, ob Nullstellen, Polstellen und hebbare Lücken vorliegen, benötigst Du die Nullstellen des Zählers (hier trivial) und die Nullstellen des Nenners. Letztere ermittelst Du - wie schon gesagt - indem Du eine Nullstelle rätst und den zugehörigen Linearfaktor mittels Polynomdivision abspaltest. Danach liegt eine quadratische Gleichung vor, die Du mittels pq-Formel lösen kannst. Im Ergebnis liegt die Funktion dann in Linearfaktordarstellung vor und die o.g. markanten Stellen der Funktion können auf einfache Weise ermittelt werden.
ist -1 Nullstelle des Nenners ?
wenn ja , kann man den Faktor (x+1) kürzen. Hier nicht
.
Nennergrad ist höher als Zähler . Schlußfolgerung fürs Undliche ?
.
Nullstellen des Nenners finden.
+1 wird geraten ,dann Nenn durch (x-1) teilen : Polydiv
.
Nenner in der Form
(x-nst1)(x-nst2)(x-nst3) schreiben
wegen der drei reellen Nst gibt es drei Pole
Anleitungen findest du massig auf Youtube :
https://www.youtube.com/watch?v=Kd_757z-g-k
https://www.youtube.com/watch?v=ljQQIYmw2aw
Nullstelle im Nenner raten. Dann Polynom-Division.
Die Polynom-Division machst du um feststellen, ob du überhaupt kürzen kannst. Nach einem Durchlauf hast du ja unten ein Produkt aus einer linearen Funktion und einer quadratischen Funktion stehen. Dann kriegst du alle drei Nullstellen im Nenner.
ich glaube es macht mehr sinn, wenn ich erstmal die division mache, also mit dem nenner und dann weiterfrage
also als nullstelle habe ich x=1, wenn ich dann die polynomdivision mache kommt da, x^2-x-6 raus, was mache ich jetzt damit?
Du hast dann als Bruch stehen:
(x+1)/ ((x-1)*(x²-x-6))
Jetzt kannst du überlegen wie du weiter machst. Zwei Nullstellen solltest du im Nenner finden. Und dann hast du im Nenner eine faktorisierte Form stehen und dann sollte es mit Partialbruchzerlegung weiter gehen.
Auch in Linearfaktoren zerlegen, nämlich in (x+2)*(x-3), denn 2-3=-1, die Zahl vor dem x, und 2*(-3)=-6, die Zahl ohne x.
Nun hast Du die vollständige Linearfaktorzerlegung von x³-2x²-5x+6,
nämlich (x-1)*(x+2)*(x-3) und kannst den Bruch in
A/(x-1)+B/(x+2)+C/(x-3) zerlegen.
Nun diesen Bruch wieder auf einen Nenner bringen - der ist ja bekannt - und A, B und C entsprechend erweitern.
A wird mit (x+2)*(x-3) erweitert, B mit (x-1)*(x-3) und C mit (x-1)*(x+2)
Ausmultiplizieren:
Ax²-Ax-6A+Bx²-4Bx+3B+Cx²+Cx-2C
Nun Potenzen von x ausklammern:
x²*(A+B+C)+x*(-A-4B+C)-6A+3B-2C.
Nun hast Du einen Zähler, der äquivalent zum Zähler x+1 ist, denn beide besitzen den gleichen Nenner.
Es folgt der Koeffizientenvergleich.
In x+1 kommt kein x² vor, daher muß gelten:
A+B+C=0, denn im veränderten Zähler hat das x² den Faktor (A+B+C).
Das x kommt einmal vor, daher muß der Faktor vor dem x des anderen Zählers auch 1 ergeben:
-A-4B+C=1
Die Zahl ohne x ist auch 1, also muss die Summe aller Terme ohne x auch 1 ergeben:
-6A+3B-2C=1
Nun hast Du ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten und drei Gleichungen, das die Lösungen A=-1/3, B=-1/15 und C=2/5 besitzt.
Du kannst den Bruch also zu -1/[3*(x-1)]-1/[15*(x+2)]+2/[5*(x-3)] umschreiben.
Wenn Du den wieder auf einen Nenner bringst, zusammenfaßt und kürzt, kommst Du wieder zu (x+1)/(x³-2x²-5x+6)
soll ich dann quasi die x+1 im zähler ignorieren oder wie?
also ich würde jetzt vom nenneer die nullstelle raten und dann damit die polynomdivision machen, aber was ist denn mit dem zähler