Partialbruchzerlegung (s+3)*s?
Wie gehe ich da vor? Gibt es eine Regeel für die Ansätze bei der PZB?
3 Antworten
Generell stellst Du für jede Nullstelle einen eigenen Bruch auf, die Zähler bezeichnest Du einfach mit A, B, C, ...
Beispiel: (....) / [(x-x1)(x-x2)(x-x3)] = A/(x-x1) + B/(x-x2) + C/(x-x3)
Sonderfall: Bei n-facher Nullstelle musst Du n Brüche aufstellen, mit steigenden Exponenten von 1 bis n.
Beispiel: (...) / (x-x1)³ = A/(x-x1) + B/(x-x1)² + C/(x-x1)³
Dann bringst Du die rechte Seite auf den Hauptnenner (ist der Nenner der linken Seite). Anschließend klammerst Du die x'e aus, damit Du abschließend die umgeformte rechte Seite mit der linken Seite vergleichen kannst (Koeffizientenvergleich).
Deine Aufgabe: (s+6)/[(s+3)s]
(einfache Nullstellen bei -3 und 0)
=>
(s+6)/[(s+3)s] = A/(s+3) + B/s |rechte Seite auf Hauptnenner bringen
... = (As + B(s+3))/HN |* HN und rechten Zähler ausrechnen
s+6 = As + Bs +3B |rechts s ausklammern
s+6 = (A+B)s + 3B
Jetzt kommt der Koeffizientenvergleich. Links steht vor dem s eine 1, rechts (A+B), also gilt 1=A+B, dahinter steht links +6, rechts +3B, also 6=3B.
Aus 6=3B ergibt sich B=2, und damit folgt dann aus 1=A+B A=-1
Das jetzt in die fettgedruckte Gleichung eingesetzt ergibt:
(s+6)/[(s+3)s] = -1/(s+3) + 2/s
Wie kann man sowas nicht verstehen man? Bei Partialbrüchen mit reellen Nullstellen gibt es zwei Fälle, da der Zähler nur den Grad 0 haben kann und bei Partialbrüchen mit komplexen Nullstellen gibt es vier Fälle, da der Zählergrad sowohl 0 als auch 1 sein kann.
gg wp
Der " Ready " pläääst sisch plooß deshalb so ufff ohne Ende, weil er noch nie vom " Abdeckerverfahren " vernommen hat; andere nennen es " Zuhälterverfahren "
Eine Bemerkung in eigener Sache; nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen " Hochpunkt " statt Maximum. Ich kann es auch; es heißt Teilbruch-nicht Partialbruchzerlegung ( TZ ) Du sagst ja auch nicht
" Ich partiale brüderlich, indem ich die Schokolade in gleche Partiale partiale ... "
TZ stellt die ( endliche ) Reihenentwicklung einer gebrochen rationalen Funktion ( GRF ) nach der höchsten Ordnung jeder ihrer Polstellen dar; so eine Art Umkehrung des Hauptnenners. es gibt da einen Lehrsatz, welcher Existenz und Eindeutigkeit der Entwicklungskoeffizienten verbürgt.
Wie du weißt, funktioniert die Praxis doch ein bissele anders als die Teorie; ich muss dich leider enttäuschen. Im Internet hat das Zuhälterverfahren leider noch nicht Einzug gehalten.
( s + 6 ) / s ( s + 3 ) = ( 1.1a )
= A / s + B / ( s + 3 ) ( 1.1b )
Wie bestimme ich A? Ganz einfach indem ich die Polstelle s1 = 0 in ( 1.1a ) einsetze. Aber das geht doch grade nicht; da wird doch ( 1.1a ) singulär. Eben. Deshalb DECKEN wir alles, was singulär wird, ( mit der Hand ) AB ( Abdeckerverfahren ) oder HALTEN es ZU ( Zuhälterverfahren ) . Was du dann bekommst, schimpft sich der zu dem Pol x2 = 0 adjungierte ===> Integralkern, Formelzeichen G
G ( s ; 0 ) = ( s + 6 ) / ( s + 3 ) ( 1.2a )
A = G ( 0 ; 0 ) = ( 0 + 6 ) / ( 0 + 3 ) = 2 ( 1.2b )
Ich schick lieber ab, weil dieser Editor so instabil ist; in Teil 2 wenden wir uns dann B zu .
Mit B machen wir es genau so. Jetzt müssen wir in ( 1.2a ) den Faktor ( s + 3 ) abdecken.
G ( s ; - 3 ) = ( s + 6 ) / s = 1 + 6 / s ( 2.1a )
B = G ( - 3 ; - 3 ) = ( - 1 ) ( 2.1b )
Probe stimmt; siehe Wolfram ( Wolfram spinnt trotzdem. )
Das wirkt wie Zauberei; ich weiß. Eine Mathelehrerin vermahnte mich mal, ich solle gar nicht erst den Eindruck erwecken, das Zuhälterverfahren lasse sich auch nur irgendwie LMNTar plausibel machen. Wenn irgendwo, dann gilt hier das große Wort des ===> Apollonios
" Majestät: es gibt keinen Königsweg zur Mathematik. "
Was hier verlangt wird, ist virtuose Beherrschung der ===> Residuen, des wohl kompliziertesten Kapitels der ( komplexen ) Funktionenteorie.
Ich weiß nicht, ob du deine Lehrer, Profs oder Assistenten dafür erwärmen kannst, dir das zu vermitteln. Also zutexten werde ich dich nicht; wenn ich aber noch in irgendeinem Betracht für dich von Nutzen sein kann, schick mir einen Kommentar.