[Mathe] Muss ich hier die Randwerte betrachten?
Guten Nachmittag,
ich benötige noch ein wenig Hilfe, um zu verstehen, in welchen Fällen ich die Randwerte betrachten muss, und in welchen nicht.
Dazu habe ich als Beispiel zwei Aufgaben. Im Folgenden befinden sich meine Fragen und danach befindet sich ein Bild der Aufgabe, ein Bild der Musterlösung und Bilder der von mir bearbeiteten Aufgaben e) und f).
- Ich verstehe, dass man bei der Aufgabe e) die Randwerte betrachten muss, da bei t = 0 und t = 6 die Besucherzahl höher sein könnte. Denn dort könnte die Funktion ja höhere Werte annehmen (auch wenn sich dort keine Extremstellen befinden).
- Ich verstehe nicht, wieso in dem Lösungsvorschlag zur Aufgabe f) Bezug auf die Randwerte genommen wird, da bei dem x-Wert des Wendepunktes mit einem links-rechts-Krümmungswechsel, so wie ich ihn auch berechnet habe, doch immer die maximale positive momentane Änderungsrate ist. Wozu wurde hier bei der Aufgabe f) im Lösungsvorschlag Bezug auf die Randwerte genommen?
Ich freue mich sehr auf eure ausführlichen und leicht verständlichen Antworten.
[Aufgaben]
[Lösungsvorschlag]
[Von mir bearbeitete Aufgaben]
1 Antwort
Die Kontrolle der Randwerte bzgl. der maximalen Steigung ist daher nötig, weil sich dort zwar laut Rechnung keine Wendestellen befindet, trotzdem kann dort die Steigung stärker ausfallen als am errechneten Wendepunkt. Die Funktion könnte ja theoretisch bei t=0 stark steigend beginnen (Aufgabenbezogen: z. B. Neueröffnung/Sonderevent, daher extrem starker Menschenandrang zu Beginn).
Bei f'(6) hast Du ja sogar tatsächlich betraglich eine stärkere Steigung als am Wendepunkt, d. h. dort ist die stärkste (negative) Änderung, trotzdem taucht diese Stelle in der Berechnung der stärksten Steigung nicht auf!
Und natürlich nur bei solchen Wendestellen, die gleichzeitig kein Sattelpunkt (Wendestelle mit waagerechter Tangente) sind.
Als bestes Beispiel bzgl. der "Randstellen" kannst Du die Funktion 4. Grades aus einer anderen heutigen Frage von Dir nehmen. Da hast Du einen lokalen Tiefpunkt auf der y-Achse, aber links und rechts geht es vor dem linken und hinter dem rechten Hochpunkt "unendlich weit" nach unten. Ebenso hast Du zwischen den lokalen Extrempunkten zwei Wendestellen (einmal steigend/einmal fallend), aber die Steigungen links und rechts nach unten weg werden immer größer (betraglich).
Bei den "einfachen" trigonometrischen Funktionen wiederholt sich der Verlauf des Graphen ja ständig, d. h. da braucht man nur eine Periode betrachten, und da diese Funktionen (zumindest sin/cos, bei tan siehts wieder anders aus) beschränkt sind (y-Werte liegen nur in einem festen Bereich), gibt es über eine Periode hinaus auch keine Randwerte, bei denen höhere Werte zu "befürchten" sind, weder was den Funktionswert angeht, noch die Steigung.
Vielen lieben Dank für deine super Antwort. Zum Glück habe ich mir die Frage dazu gestellt und sie hier gepostet.
Also halte ich fest:
Richtig?