Wie rechne ich das aus, wenn ich das jetzt in die Stammfunktion einsetze?
Servus,
ich versuche mich schon lange an einer Aufgabe verstehe sie aber nicht.
Für jedes t>0 ist eine Funktionen ft gegeben durch ft(x)= x2-t2. Der Graph von ft schließt mit der x achse eine Fläche A(t) ein.
Bestimmen sie A(t) in Abhängigkeit von t . Für welche Werte von t beträgt der Flächeninhalt 36 FE?
Nullstellen sind x2-t2= 0 -> x2 =t2 -> x1.2= ± t und Stammfunktion ist
F(x) = (1/3x³ - t²x) mit unterer grenze -t und oberer grenze t.
Das verstehe ich nicht.
Danke Voraus :D
3 Antworten
was du bisher gerechnet hast ist richtig
wie üblich Fläche = F(obere Grenze)-F(untere Grenze)
die Fläche in Abhängigkeit von t:
berücksichtigt man die Symmetrie der Parabel dann geht der Ansatz auch einfacher:
beim nächsten Teil muss A(t)=-36 sein
also den oben berechneten Ausdruck = -36 setzen und nach t auflösen
die Fläche liegt unterhalb der x-Achse, deshalb das Minus vor der 36. Der Wert des Integrals ist negativ
Hallo,
da die Parabel x²-t² symmetrisch zur y-Achse liegt, kannst Du Dir es etwas einfacher machen, indem Du als Untergrenze anstelle von -t eine 0 setzt und die Fläche, die herauskommen soll, zu |18| halbierst.
Da F(0) hier gleich 0, mußt Du so nur noch F(t) berechnen, ohne irgendetwas abziehen zu müssen: F(t)=|18|
Die Stammfunktion F(x;t) lautet (1/3)x³-t²x.
Nun setzt Du für x einfach t ein und bekommst:
F(t)=(1/3)t³-t³=-(2/3)t³=|-18|
Das nach t aufgelöst ergibt t=3.Wurzel (18*3/2)=3.
Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, müßtest Du eigentlich -18 einsetzen.
Da hier aber nur der Betrag der Fläche interessiert, scherst Du Dich nicht um das Vorzeichen.
Herzliche Grüße,
Willy
Nun, du setzt für x einmal +t und einmal -t ein, also deine beiden Integrationsgrenzen, und ziehst die beiden Beiträge voneinander ab.
dass die Fläche unterhalb der x-Achse liegt ist noch ein wichtiger Hinweis, daran habe ich bei meiner Lösung nicht gedacht. Beim Rechnen hätte ich es wohl bemerkt, dass es -36 statt 36 heißen muss