Warum funktioniert Integralrechnung?
Hallo Leute,
Die Frage klingt zwar ein wenig plump, aber wieso genau funktioniert eigentlich Integralrechnung? In der Schule haben wir gelernt, dass man für den Flächeninhalt unter einem Graphen die Stammfunktion bilden muss und in diese dann die Ober- und Untergrenze einsetzt und sie voneinander subtrahiert. Aber uns wurde nicht gesagt, warum das ganze den überhaupt funktioniert. Was hat die Stammfunktion mit dem Flächeninhalt der Funktion zu tun?
Mfg
3 Antworten
Die Ober- und Untersummen nähern sich durch einen Grenzwert dem Flächeninhalt an.
Wenn man sich anschaut, was am Ende dabei herauskommt, ergibt sich "zufällig" die Stammfunktion. Daher spart man sich die Summenbildung und rechnet direkt mit der Stammfunktion, weil es einfacher ist. Du hast das ganze also in einer falschen Reihenfolge betrachtet.
Also in der Regel führt man das Integral an einer Schule so ein, dass man zunächst die sog. Ober- oder Untersumme einer Funktion bildet.
Man nähert zunächst mal die Fläche an den Grenzen a und b unter einem Graphen mit n Rechtecken an, und später lässt man diesen Wert gegen unendlich laufen (salopp gesagt). Durch Ausklammern erhält man einen Ausdruck, der einen neuen mathematischen Ausdruck liefert, der sich durch vollständige Induktion beweisen lässt (bei einer Funktion wie f(x)=x² ist es die Summe der ersten n Quadratzahlen). Durch geschicktes Umformen kommt man dann auf die Stammfunktion, bzw bei einer Obergrenze b und einer Untergrenze a bei o.g. Funktion 1/3*b-1/3*a
Es sind zwei Fragen
1) Warum ergibt das Integral die Fläche
2) Warum kann man mit nur zwei Punkten aus der Stammfunktion das komplette Integral bestimmen
Die Antwort auf 1) ist, dass man die Fläche durch Ober und Untersummen quasi umschließt , der Grenzwert aller Obersummen und Untersummen ist bei manchen Funktionen dann vorhanden und auch noch gleich, dies nennt man dann das Integral. Die Antwort zu 2) ist interessanter, hier könnte man tatsächlich von einem kleinen Wunder sprechen , denn ansonsten könnte man Integrale bis auf einige triviale Funktionen gar nicht bestimmen. Der Beweis ist aber einfach, es ist der Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung, den man Recht einfach beweisen kann.