Mathe gebrochenrationale funktionen?

Wie zeige ich dass sich die Funktionen beliebig annähren bei b

Answer 1

[mihisu]

Betrachte die Differenz f(x) - g(x) und zeige, dass diese für x → ±∞ gegen 0 konvergiert.

======= Hinweis zum Bilden der Differenz f(x) - g(x) ======

Du kannst entweder g(x) = 0,5x² + 2 mit 2x zu einem Bruch erweitern...

$0\text{,}5x^2+2=\frac{\left(0\text{,}5x^2+2\right)\cdot 2x}{2x}=\frac{x^3+4x}{2x}$

..., damit du den gleichen Nenner wie bei f(x) hast. [Merke: Wenn man zwei Brüche addieren oder subtrahieren möchte, sollte man diese zuerst auf den gleichen Nenner bringen.]

Oder du könntest stattdessen umgekehrt f(x) zerlegen...

$\frac{x^3+4x+1}{2x}=\frac{x^3}{2x}+\frac{4x}{2x}+\frac{1}{2x}=0\text{,}5 x^2+2+\frac{1}{2x}$

... was hier quasi dem Durchführen der Polynomdivision (x³ + 4x +1) : (2x) entspricht.

====== Weiterer Hinweis zu c) ======

Bei c) kannst du im Grunde so vorgehen, wie bei der zweiten von mir genannten Möglichkeit [mit der Zerlegung von f(x)].

Führe bei h(x) die Polynomdivision durch bzw. zerlege h(x) entsprechend.

Dann solltest du recht einfach eine Funktion angeben können, die den gleichen ganzrationalen Anteil besitzt, und sich nur bzgl. des echt-gebrochenen Anteils unterscheidet.

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

------ a) ------

------ b) ------

$f(x)=\frac{x^3+4x+1}{2x}=\frac{x^3}{2x}+\frac{4x}{2x}+\frac{1}{2x}=0\text{,}5 x^2+2x+\frac{1}{2x}$

$f(x)-g(x)=0\text{,}5x^2+2x+\frac{1}{2x}-\left(0\text{,}5x^2+2x\right)=\frac{1}{2x}\xrightarrow{x\to\pm\infty}0$

Die Differenz f(x) - g(x) wird für x → ±∞ beliebig klein.

------ c) ------

$h(x)=\frac{-x^3+2x^2-4}{2x}=\frac{-x^3}{2x}+\frac{2x^2}{2x}+\frac{-4}{2x}=\underbrace{-0\text{,}5x^2+x}_{p(x):=}\underbrace{-\frac{2}{x}}_{\underset{\text{für }x\to \pm\infty}{\to 0}}$

Eine entsprechende Funktion p ist durch

$p(x)=-0\text{,}5x^2+x$

gegeben.

Answer 2

[Rhenane]

Zerlege den Bruch von f in 3 Brüche und kürze die beiden ersten Brüche (das ist quasi eine "erleichterte" Polynomdivision). Du erhältst als Term die Parabel g plus Rest, d. h. die Parabel g ist die schiefe Asymptote von f...

(Bei c) gehst Du dann genauso vor!)