Mathe-Aufgabe: Wachstum (12. Klasse Gymnasium)?
Hallo, ich habe gerade ein bisschen Probleme bei folgender Mathe-Aufgabe:
Über eine Tropfinfusion wird in jeder Sekunde 0,1ml eines Medikaments zugeführt. Der Körper baut in jeder Sekunde 2% des bereits im Blut vorhandenen Medikamentes ab. Untersuchen Sie, ob die Menge des Medikaments im Blut beschränkt wächst.
Ich bin mir schon bei der Funktionsgleichung nicht sicher - ich habe:
f(x) = 0,1 * x * 0,98^x
Würdet ihr sagen, dass diese so stimmt?
Und wie kann ich nun zeigen, dass es sich um beschränktes Wachstum handelt? Reicht da eine Begründung in Richtung "Für x -> unendlich geht 0,98^x gegen 0"?
Danke schonmal!
3 Antworten
Loesungsidee: Ich wuerde mir das anhand einer Differentialgleichung ueberlegen. Sei f(x) die Menge des Medikaments (in ml) im Blut zum Zeitpunkt x (in s). Dann gilt laut Aufgabe:
f'(x) = 0.1 - 0.02 * f(x) = 0.02 * (5 - f(x))
Aenderung = 0.1ml kommen dazu, 2% des Bestands werden abgebaut
Soweit plausibel? Jetzt muss man eine Funktion f suchen, fuer die diese Gleichung gilt. Wahrscheinlich weisst Du aus dem Unterricht aber schon, dass dies die Differentialgleichung des beschraenkten Wachstums ist und kennst die Loesung, oder? Sie lautet:
f(x) = 5 + c * e^(-0.02x)
Dabei ist c irgendeine (noch zu bestimmende) Konstante.
Du kannst zur Kontrolle pruefen, ob f wirklich eine Loesung der Differentialgleichung ist - ist Dir klar, wie?
Wahrscheinlich gilt f(0) = 0 gilt, oder? Dies erlaubt Dir, die Konstante c zu berechnen. Was bekommst Du fuer c heraus?
Wenn Du die Ueberlegung bis hierhin nachvollziehen konntest, hast Du die gesuchte Funktion f und weisst, dass es sich wirklich um beschraenktes Wachstum handelt.
zu Deiner Loesung: Du hast f(x) = 0.1x * 0.98^x vorgeschlagen. Zur Sekunde x berechnest Du damit die Menge, die insgesamt verabreicht wurde (0.1x) und reduzierst diese so, als ob von Anfang an zwei Prozent dieser Gesamtmenge pro Sekunde abgebaut worden waeren - das ist aber nicht so, denn die Menge kam ja nach und nach ins Blut.
Allgemein ist zu sagen, dass es eher schwierig ist, die Funktion f direkt durch Ueberlegen zu bestimmen, wenn man nur Informationen ueber die Aenderungsrate von f gegeben hat.
zum Begriff: Nur Funktionen der Form f(x) = S + c * e^(-p x) mit irgendwelchen Zahlen S, c und p (p darf nicht negativ sein) bescheiben "beschraenktes Wachstum". Alle anderen Funktionen - auch wenn sie ein aehnliches Schaubild haetten - zaehlen nicht dazu.
Wenn es nur um genau die Fragestellung geht, dann ist dies sehr einfach ohne Funktionsgleichung zu beantworten. Bei 5 ml entspricht der Zuwachs von 0,1ml exakt der Abnahme von 2%, dies ist also die obere Schranke. Unterhalb der 5ml wächst die Konzentration folglich.
Eine Funktionsgleichung braucht man leider auch - später soll man die Menge im Blut nach einer Minute bestimmen und man soll den Zeitpunkt nennen, bei dem Die Menge mit 0,01L/min steigt.
Die Funktion ist rekursiv definiert:
f(0) = 0
f(n+1) = 0,98 * f(n) + 0,1
Aus den 0,1 wird dann eine geometrische Reihe.
Dass 0,98^n für n -> unendlich gegen 0 geht reicht allein als Begründung nicht aus, wir brauchen zusätzlich die Konvergenz der Reihe.
Ich hab mal von der Tabellenkalkulation ein paar Werte ausrechnen lassen.
Das ergibt eine geometrische Reihe mit Vorfaktor 0,1 und Reihenfaktor 0,98:
f(n) = 0,1 * (1 - 0,98^n) / (1 - 0,98)
Die ist als geometrische Reihe konvergent, also auch beschränkt, d. h. es handelt sich um beschränktes Wachstum.
Für n -> unendlich geht f gegen die Schranke 0,1 / (1 - 0,98) = 5
Gäbe es denn auch eine eplizite Darstellung? Später soll man nämlich noch die Menge im Blut nach einer Minute bestimmen und man soll den Zeitpunkt nennen, bei dem Die Menge mit 0,01L/min steigt.