Das koennte bedeuten, dass der Eingabespeicher voll ist. Du kannst ja mal probieren, ob der "fette Balken" immer nach derselben Anzahl an eingegebenen Zeichen kommt.
In diesem Fall musst Du Schritt fuer Schritt Teilergebnisse berechnen oder einfach selbststaendig ein bisschen vereinfachen: Die Multiplikation mit 1^3 und 1^4 kann man sich ja wirklich schenken :D
Hier nochmal dieselbe Skizze ohne das uennoetige Drumherum:
Die Kleinbuchstaben sind natuerlich nur Abkuerzungen - man koennte auch mit den Bezeichnungen durch Start- und Endpunkt arbeiten. Nun kann man sich fragen, wie man vektoriell von von A nach B gelangt:
Man geht erst von A nach O, d.h. in Richtung -a. Addiert man dann noch b, landet man beim Punkt B. Der Vektor, der von A nach B zeigt, ergibt sich also aus der Differenz der Ortsvektoren von B und A.
Du kannst es auch nochmal von einer anderen Seite betrachten: A ist der "Fusspunkt". Indem Du zu A (bzw. genauer gesagt dem Vektor a) beliebige Vielfache von m addierst, beschreibst Du eine Gerade durch A in Richtung m. Wenn Du fuer r den Wert 1 einsetzt, hast Du m genau einmal an den Punkt A angetragen. Schauen wir mal, wo man landet:
Wir kommen genau bei B heraus! Also zeigt m=b-a wirklich von A nach B und nicht in die entgegengesetzte Richtung.
Was Du in den Oberstufenbuechern findest, wurde hier sehr ausfuehrlich anhand eines Fisch-Beispiels erlaeutert:
https://www.gutefrage.net/frage/herleitung-differentialgleichung-logistisches-wachstum?foundIn=list-answers-by-user#answer-26603368
Es koennte Dir dabei helfen, zu verstehen, wie man zum Modell des logistischen Wachstums kommen kann. Lies Dir die Antwort dort mal durch (ignoriere alles an Mathematik, was Du noch nie gehoert hast, z.B. ist "Ableitung", "Differentialrechnung" oder auch "Differentialgleichung" fuer Dich nicht wichtig - lies einfach nur den Text durch und versuche, die inhaltlichen Ueberlegungen zu verstehen).
Da Du erst in der neunten Klasse bist, wird wahrscheinlich nur die diskrete Behandlung des Wachstums in einzelnen Zeitschritten (anstatt fuer eine "Zeitvariable") erwartet.
Das bedeutet, dass Du anstatt der im oben verlinkten Beitrag genannten "Differentialgleichung" eine Rekursionsgleichung fuer den Fischbestand bekommst, naemlich (t gemessen in Monaten):
B(t+1) = B(t) + k * B(t) * (5000 - B(t)) fuer irgendeine Konstante k
In Worten bedeutet das: "Der Bestand zum naechsten betrachteten Zeitpunkt (d.h. t+1) ist der aktuelle Bestand B(t) plus die Aenderung des Bestands. Die Aenderung berechnet sich aus k * B(t) * (5000 - B(t))."
Gegeben sind B(0) = 20 und B(1) = 25. Mit diesen beiden Werten kannst Du die "Wachstumskonstante" k berechnen, indem Du den Zeipunkt t=0 und eben diese beiden Werte in die Rekursionsgleichung einsetzt:
25 = 20 + k * 20 * (5000 - 20)
Diese Gleichung kannst Du nach k aufloesen und hast damit die einzige Unbekannte in der Rekursionsgleichung bestimmt (es kommt etwa k = 0.0000502 heraus, d.h. k ist eine eher kleine Zahl. Wenn Dir die Bruch-Notation lieber ist: k = 1/19920). So kannst Du nun nach und nach die Bestaende fuer t=1, t=2, t=3, t=4, ... ausrechnen:
In der oben genannten Aufgabe erhaelt man fuer den Fischbestand nach zwei Jahren etwa B(24)=2326. Wenn Du aber mit der hier beschriebenen "Zeitschritt-Methode" rechnest, kommst Du auf etwa B(24)=2500 Fische - je nach dem, wie Du die Zwischenergebnisse rundest. Traegst Du die erhaltenen Werte in ein Diagramm ein, bekommst Du folgende Kurve:
Das ist der typische Verlauf bei logistischem Wachstum. Wenn Du zu irgendeinem Punkt eine genauere Erklaerung benoetigst oder sonst irgendwelche Verstaendnisprobleme hast, dann kannst Du gerne nochmals nachfragen. Viel Erfolg!
Wenn Du ggT und kgV zweier Zahlen miteinander multiplizierst, dann kommt dasselbe raus wie wenn Du die beiden Zahlen selbst miteinander multiplizierst. In Formeln:
ggT(a,b) * kgV(a,b) = a * b
Laut Aufgabe gilt 60 * 2520 = 840 * b. Daher muss b = 60 * 2520 / 840 = 180 sein.
Zaehlen: Wenn Dich das andere Stellenwertsystem irritiert, solltest Du Dir vielleicht zuerst vergegenwaertigen, wie man im 5er-System zaehlt. 1, 2, 3, 4, 10 (lies besser "einsnull" anstatt "zehn"), 11 ("einseins"), 12, 13, 14, 20, 21, ...
Vorab: Im Prinzip kann man wie gewohnt schriftlich rechnen - nur dass der Uebertrag beim Addieren schon bei 5 (bzw. "einsnull") stattfindet anstatt wie gewohnt erst bei 10 (das waere ja schon "zweinull"!). Wenn man aber nicht genau versteht, warum die uns bekannten Algorithmen eigentlich funktionieren, ist das vielleicht nicht so wirklich plausibel. Ich zeige Dir eine fundamentalere Sichtweise, die sich auf das Zaehlen gruendet - so wie in der Grundschule! Ab jetzt gibt's nur noch Zahlen im Fuenfersystem! Also los:
Back to Basics: Eine Division wie z.B. 23 : 2 im Fuenfersystem bedeutet wie gewohnt "Wie oft passt 2 in 23?". Das kann man ganz fundamental herausfinden: Wir zaehlen in Schritten von 2 bis wir auf oder ueber 23 kommen: zwei, vier, einseins, einsdrei, zweinull, zweizwei, zweivier - das ist drueber! Jetzt zaehlen wir, wie viele Schritte wir gebraucht haben und wie viel Rest uebrig blieb: Wir haben (bis wir bei zweizwei angekommen waren) einseins Schritte gebraucht und es blieb ein Rest von 1. Also 23 : 2 = 11 Rest 1 im Fuenfersystem.
An diesem Beispiel kann man sehen, dass der gewoehnliche Algorithmus uns auch auf dieses Resultat gebracht haette:
23 : 2 = 11
2
-
03
2
--
1
Randbemerkung: Ich finde, dass man sich durch solche Beispiele gut in Kinder hineinversetzen kann, denen Division schwer faellt - schlicht deshalb, weil sie wirklich noch mit den Fingern nachzaehlen muessen und die Ergebnisse nicht auswendig kennen... Ausserdem kann ich durch "Hingucken" nicht wirklich entscheiden, ob ich einen Rechenfehler gemacht habe oder nicht, weil ich keine Vorstellung davon habe, "wie viel" 23 ist (es sei denn, ich wuerde ins Zehnersystem uebersetzen natuerlich) :D
Dein Beispiel: Etwas schwieriger ist es natuerlich, wenn man durch groessere Zahlen teilt. Man muss dann eben in viel groesseren Schritten zaehlen. Um Deine Rechnung im Fuenfersystem durchzufuehren, ist es hilfreich, sich zunaechst die "Zweidreier-Reihe" des grossen Einmaleins aufzustellen:
n | 1 2 3 4 10 ...
23*n | 23 101 124 202 230 ...
Das kannst Du auch durch Zaehlen (oder mittels wiederholter schriftlicher Addition oder Multiplikation) nachpruefen. Okay, mit dieser Tabelle koennen wir vergleichsweise komfortabel Deine Aufgabe loesen:
34004 : 23 = 1213
23
--
110
101
---
40
23
--
124
124
---
0
Beachte beim schriftlichen Rechnen wie gesagt, dass es immer schon bei einsnull zu einem Uebertrag kommt! Viel Spass :)
Das Raetsel: Zwanzig Karten werden mit dem Bild nach oben nebeneinander gelegt. Nun darf man sich irgendeine Bildkarte (ausser die ganz rechts vermute ich) aussuchen und diese sowie die Karte rechts daneben umdrehen. Diesen Vorgang wiederholt man wieder und wieder. Gefragt ist nun ein Beweis dafuer, das man irgendwann keinen Zug mehr machen kann (weil alle Karten mit dem Kartenruecken nach oben liegen).
Ein Beispiel: Ich nenne eine Karte, die mit dem Bild nach oben liegt "B" und eine Karte, deren Ruecken nach oben zeigt "R". Ich illustriere es nun anhand von vier Karten, um weniger tippen zu muessen: Man startet bei BBBB. Nun sucht man sich z.B. die zweite Karte von links aus und landet bei BRRB. Nun kann ich mir z.B. die Karte ganz links aussuchen und lande bei RBRB usw. Die Frage ist also, ob man auf jeden Fall irgendwann bei RRRR rauskommt.
Nathans Ansatz: Nathan begruendet dies im Video prinzipiell so: Sucht man sich eine B-Karte aus, dann liegt rechts daneben entweder noch ein B oder aber ein R. Also gibt es die Faelle BB und BR. Im ersten Fall erhaelt man nach dem Umdrehen RR, d.h. die Anzahl der B-Karten verringert sich. Im zweiten Fall erhaelt man RB, d.h. die Anzahl der B-Karten bleibt gleich, aber dafuer rutscht ein B weiter nach rechts.
Dadurch, dass im zweiten Fall die Bs immer weiter nach rechts rutschen, kommt es irgendwann dazu, dass sich die Bs rechts ansammeln und nur noch der erste Fall eintreten kann, d.h. dass sich Bs "vernichten". Mit der Zeit werden die Bs also immer weniger und man landet gezwungenermassen bei RRRR. Hier die Abfolge, wenn man immer so waehlt, dass man noch moeglichst viele Schritte machen kann:
BBBB, BBRR, BRBR, BRRB, RBRB, RRBB, RRRR
Hier kannst Du gut beobachten, wie die Bs nach rechts rutschen und immer weniger werden. Das ist im Prinzip alles, aber man kann es noch etwas anders aufschreiben:
Das Binaersystem: Nathan verwendet "1" statt "B" und eine "0" statt "R". So entspricht jede Kartenabfolge einer Abfolge von Einsen und Nullen. In unserem kleinen Beispiel wuerde man also bei 1111 starten und bei 0000 ankommen. Solche Abfolgen von Einsen und Nullen kann man als Zahlen in Binaer-Darstellung interpretieren (kannst Du unter https://de.wikipedia.org/wiki/Dualsystem im Detail nachlesen, aber ich erlaeutere es Dir etwas):
Wir schreiben Zahlen normalerweise im 10er-System, d.h. die letzte Ziffer hat die Wertigkeit 1 (=10^0), die vorletzte zaehlt die 10er (=10^1), die vorvorletzte zaehlt die 100er (=10^2) usw. So steht "398" ja fuer 8*1 + 9*10 + 3*100.
Im Binaersystem arbeitet man mit der Basis 2 anstatt mit einer 10 (und dafuer auch nur mit den Ziffern 1 und 0). Die letzte Stelle zaehlt 1 (=1^0), die vorletzte 2 (=2^1), die vorvorletzte 4 (=2^2), die viertletzte 8 (=2^3) usw. Die Ziffernfolge "0101" im Binaersystem steht also in unserer normalen Schreibweise fuer 1*1 + 0*2 + 1*4 + 0*8 = 5.
Nathan beschreibt unsere Beobachtung von oben im Binaersystem: Wenn man in einer Ziffernfolge 11 durch 00 ersetzt, wird die Zahl kleiner (das war unser erster Fall oben, in dem sich die Bs "vernichten"). Wenn man die Ziffernfolge 10 durch 01 ersetzt, wird die Zahl auch kleiner, da die Stellen weiter rechts ja weniger zaehlen (das war unser zweiter Fall oben, in dem sich die Bs nach rechts schieben). In jedem Schritt wird die Zahl also kleiner, sodass man frueher oder spaeter bei Null rauskommen muss.
Du kannst eine beliebige Summe in ein Integral ueber eine geeignete Treppenfunktion ueberfuehren. Das macht die Berechnung der Summe aber natuerlich nicht einfacher.
Integrale lassen sich oft leichter ausrechnen, weil sie als Grenzwerte von Summen definiert sind. Grenzwerte lassen sich meist leichter bestimmen als Partialsummen: Betrachte z.B. die Summe ueber 1/k! fuer k=0 bis n. Hierfuer wirst Du keine "schoene" Summenformel finden. Den Grenzwert fuer n⟶∞ kann man aber recht simpel angeben, es ist schlicht die Euler'sche Zahl e.
Wenn Du Glueck hast, lassen sich Grenzwerte von Summen auf ein Integral zurueckfuehren. Fuer allgemeine Summen (insbesondere ohne Grenzwerte) sieht's aber schlecht aus...
Einleitung und etwas Motivation: Deine Frage ist absolut sinnvoll, auch wenn sie eine recht kurze (das heisst nicht "einfache"!) Antwort besitzt. Je nach dem, wie einem die Begriffe beigebracht werden, kann ein wirklich unklares Bild entstehen: Manchmal benutzt man ein Baumdiagramm, manchmal hat man Formeln mit Binomialkoeffizienten, manchmal geht's ueber ein Urnenmodell oder eine Vierfeldertafel etc... Es fallen die Begriffe "Wahrscheinlichkeit", "Verteilung", "Zufallsvariable"...
Es kann gut passieren, dass man keine wirkliche Verbindung mehr sieht bzw. das zugrundeliegende Konzept nicht versteht. Man fragt sich dann oft "Muss ich hier nicht ...?" und ist sich bei seinen Loesungen unsicher.
Eine ausreichende Erklaerung von Grund auf kann ich hier nicht geben - sowas geht eigentlich nur im persoenlichen Gespraech mit einem wirklich guten Lehrer. Fuer den Fall, dass Du Lust hast, Dich ein bisschen einzulesen, versuche ich nun einmal einen Anfang zu machen (am Beispiel Deiner Aufgabe - viel Text und wenig Rechnung, es geht mir darum, Dir eine sehr elementare Sichtweise aufzuzeigen):
Der Grundraum: Um ein Zufallsexperiment zu beschreiben, fragt man sich fuer gewoehnlich zuerst nach dem Grundraum (manchmal auch Stichprobenraum oder Ergebnismenge genannt). Das ist die Menge aller moeglichen Ausgaenge des Experiments. Ich gehe im Folgenden davon aus, dass es nur endlich viele moegliche Ausgaenge gibt - das ist bei Schulaufgaben meistens der Fall.
In Deinem Fall wollen wir beschreiben, dass fuenf Leute nacheinander klingeln. Wir bezeichnen die Gaeste nach ihren Anfangsbuchstaben; ein moeglicher Ausgang waere (B, C, D, E, F), d.h. zuerst klingelt Barbara, dann Christian, dann Dennis, dann Elisa und zum Schluss Felix. Alle diese Ereignisse zusammen bilden den Grundraum, den man oft mit dem Buchstaben Ω abkuerzt. Also waere Ω = {(B, C, D, E, F), (B, C, D, F, E), (B, C, F, E, D), ...}. Die Menge Ω enthaelt also in diesem Falle recht viele Elemente.
Ereignisse: Als Ereignis bezeichnet man eine Teilmenge von Ω. Diesen Begriff versteht man am besten durch ein Beispiel: Das Ereignis U = "Barbara klingelt vor Christian, Christian vor Dennis und Dennis vor Elisa." waere als Menge notiert U = {(B, C, D, E, F), (B, C, D, F, E), (B, C, F, D, E), (B, F, C, D, E), (F, B, C, D, E)}. Das Ereignis U enthaelt also schlichtweg alle moeglichen Ausgaenge, die zum Eintreten von U fuehren.
Das Ereignis V = "Felix klingelt als Letzter." enthaelt alle Ausgaenge, bei denen F an fuenfter Stelle steht. Das sind recht viele, daher liste ich die Menge hier nicht auf:)
Auch die Menge Ω selbst ist ein Ereignis, naemlich Ω = "Die fuenf Gaeste klingeln in irgendeiner Reihenfolge.", weil ja einfach alle moeglichen Ausgaenge in Ω enthalten sind.
Ereignisse, die nur einen moeglichen Ausgang des Experiments enthalten, nennt man auch Elementarereignisse (kurz EEs). Ein Beispiel dafuer waere {(B, C, D, E, F)} = "Barbara, Christian, Dennis, Elisa und Felix klingeln in dieser Reihenfolge.".
Die Wahrscheinlichkeit: Nun muss man festlegen, welche Ereignisse welche Wahrscheinlichkeit besitzen. Festlegen? Richtig gelesen! Es gibt keine Moeglichkeit, eine "richtige" Wahrscheinlichkeit auf mathematischen Wege herzuleiten. Das klingt zunaechst untypisch fuer die Mathematik, aber wird nach kurzem Ueberlegen doch klarer: Wie soll man ausrechnen koennen, dass alle Klingel-Reihenfolgen z.B. gleich wahrscheinlich sind? Es koennte ja sein, dass Felix oft spaet dran ist etc. Die Mathematik kann die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse nicht "kennen".
Die Vorgehensweise ist also Folgende ("EE" steht fuer "Elementarereignis", siehe oben fuer die Erklaerung des Begriffs):
Okay, illustrieren wir dies anhand Deines Beispiels: Ω enthaelt 5*4*3*2*1 = 120 EEs. Wir wollen, dass jedes EE gleich wahrscheinlich ist. Daher muessen wir in diesem Fall jedem EE die Wahrscheinlichkeit 1/120 geben, denn sonst waere die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten nicht 1. Nach der zweiten Regel gilt fuer das Ereignis U von oben: P(U) = P((B, C, D, E, F)) + P((B, C, D, F, E)) + P((B, C, F, D, E)) + P((B, F, C, D, E)) + P((F, B, C, D, E)) = 1/120 + 1/120 + 1/120 + 1/120 + 1/120 = 5/120.
Du erkennst darin vielleicht die bekannte Regel "Anzahl der guenstigen EEs (hier 5) geteilt durch Anzahl aller moeglichen EEs (hier 120)" wieder? Du kannst aber auch sehen, dass diese Regel nur dann stimmt, wenn wirklich alle EEs dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.
Ebenso siehst Du, dass P(Ω) = 1 gilt - das ist intuitiv richtig und auch eine direkte Konsequenz der ersten Regel. In Worten bedeutet das ja einfach "irgendwas passiert auf jeden Fall".
Baumdiagramme & Co.: Du fragst Dich jetzt vielleicht, warum man Wahrscheinlichkeiten manchmal auf andere Weise berechnen kann als durch die zweite Regel von oben. Wir haben ja nur Einzelwahrscheinlichkeiten addiert. Beim Baumdiagramm zum Beispiel werden aber Wahrscheinlichkeiten multipliziert!?
Nun, das ist so ein Punkt, den Dir am besten persoenlich jemand im Detail erklaert. Nur so viel: Man macht unterm Strich genau dasselbe - die Pfadregel am Baumdiagramm ist eine Konsequenz der zweiten Regel von oben, auch wenn man das nicht so direkt sieht.
Deine Aufgabe: Um P(V) fuer Dein Ereignis V (siehe oben) zu berechnen, musst Du zaehlen, wie viele EEs in V enthalten sind. Hierin besteht die eigentliche Aufgabe - wie viele EEs enden mit einem F? Nun, wenn F zuletzt klingelt, dann muessen die anderen vier Leute sich auf die ersten vier Plaetze verteilen. Dafuer gibt es 4*3*2*1=24 Moeglichkeiten. Also enden 24 EEs mit einem F.
Wuerdest Du also die Wahrscheinlichkeiten aller EEs mit einem F an letzter Stelle zusammenzaehlen, wuerdest Du 1/120 + 1/120 + ... + 1/120 = 24/120 rechnen. Das geschickte Zaehlen mit der Anzahl der Moeglichkeiten erspart Dir aber dieses muehsame Vorgehen. Es gilt also P(V) = 24/120 = 1/5 = 20%.
Eine Abkuerzung?: In der Antwort von @hydrahydra habe ich gelesen: "Nö... Es gibt genau fünf Ereignisse, die man berücksichtigen muss." Was hat es damit auf sich? Nun ja, wenn Du Dich nur fuer denjenigen interessierst, der zuletzt klingelt, koenntest Du zur Beschreibung des Zufallsexperiments von Anfang an einen anderen Grundraum waehlen! Wie waer's mit Ω = {B, C, D, E, F}? Dann gaebe es nur die fuenf moeglichen Ausgaenge B, C, D, E oder F - je nach dem, wer als Letzte/r klingelt.
Nun kommt aber die Krux: Das kannst Du schon machen, aber im naechsten Schritt musst Du wieder die Wahrscheinlichkeiten fuer die Elementarereignisse festlegen! Wie wahrscheinlich ist es nun, dass B (oder C, oder D, oder E, oder F) zuletzt klingelt? Im ersten Beispiel oben war es sehr intuitiv, dass jede Reihenfolge dieselbe Wahrscheinlichkeit haben sollte. Wenn ich Dich richtig verstanden habe, ist es fuer Dich aber nicht so intuitiv, dass bei dieser abgekuerzten Sichtweise auch alle fuenf EEs dieselbe Wahrscheinlichkeit haben sollten, oder?
Ich wuerde sagen: Um zu dieser abkuerzenden Sichtweise zu kommen, muss man die Loesung der Aufgabe schon kennen - schliesslich muss man schon erkannt haben, dass es fuer alle fuenf gleich wahrscheinlich ist, als Letzte/r zu klingeln. Sonst koennte man die Wahrscheinlichkeiten der EEs nicht festlegen...
Es handelt sich meiner Meinung nach also nicht wirklich um eine Abkuerzung. Der grosse Grundraum mit allen moeglichen Reihenfolgen modelliert das Zufallsexperiment so wie es auch durchgefuehrt wird und ist daher naheliegender.
Zusammenfassung: Um ein Zufallsexperiment zu beschreiben, muss man sich zuerst ueberlegen, was die moeglichen Ausgaenge (=EEs) sind. Danach muss man die Wahrscheinlichkeiten aller EEs festlegen. Oftmals ist es sinnvoll, fuer alle EEs dieselbe Wahrscheinlichkeit anzunehmen. In diesem Fall ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch die Formel "Anzahl aller guenstigen Ausgaenge / Anzahl aller moeglichen Ausgaenge". Viele Techniken der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind im Endeffekt eine geschickte Art, solche Anzahlen zu bestimmen; diese Techniken sind vor allem dann notwendig, wenn der Grundraum sehr viele EEs enthaelt.
Ich sehe - je nach Deinen mathematischen Faehigkeiten - zwei Moeglichkeiten, hier den Schwerpunkt auszurechnen:
Variante 1: Wenn Du zwei Massen m1 und m2 an den Orten r1 und r2 hast, dann liegt der Schwerpunkt s (per Definition) am Ort
Fettdruck bedeutet, dass die entsprechende Groesse ein Vektor ist (hier zweidimensional). Um das Konzept wirklich zu verstehen, solltest Du hier eine Pause machen und Dich davon ueberzeugen, dass diese Definition sinnvoll ist, d.h. mit der Intuition von "Schwerpunkt" uebereinstimmt. Analog klappt das auch fuer drei Massen:
Okay, nun zerlegst Du Deine gegebene Figur in drei Teilfiguren, von denen Du einzeln die Schwerpunkte kennst:
Die Koordinaten r1, r2 und r3 der einzelnen Schwerpunkte kannst Du berechnen (fuer die Rechtecke offensichtlich, fuer das Dreieck siehe z.B. https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Dreieck. Die Massen sind (bei konstant angenommener Dichte ρ) einfach der jeweilige Flaecheninhalt multipliziert mit ρ - die Dichte kuerzt sich am Ende aber sowieso heraus. Eingesetzt in die Formel erhaelst Du den angegebenen Schwerpunkt s.
Variante 2: Alternativ kannst Du die Integralrechnung bemuehen und den Schwerpunkt ueber die allgemeinere Formel
berechnen. Dabei ist K der Koerper und ρ(r) die (im Allgemeinen ortsabhaengige) Dichte und M die Gesamtmasse. Um dieses zweidimensionale Integral zu bestimmen, musst Du fuer K eine Parametrisierung einsetzen und ρ schlicht konstant waehlen. Eine Moeglichkeit waere (a>0 wie in der Skizze gegeben):
Hier beschreibt die Funktion f die Oberkante der Figur und A bezeichnet den Flaecheninhalt von K. Dieses Integral zerfaellt in drei Teilintegrale (fuer jeden Zweig von f eins) und liefert am Ende genau dasselbe Resultat.
Also hier zunaechst ein Zahlenbeispiel, an dem Du die genannten Argumente schnell nachrechnen kannst:
M ist die Matrix, deren n-te Potenz Du bestimmen willst. T ist die Matrix mit den Eigenvektoren von M in den Spalten. Dabei ist es egal, ob die Eigenvektoren normiert sind oder nicht. D ist die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von M auf der Diagonalen (in der Reihenfolge entsprechend den Eigenvektoren). Also hier: (1,- 2) ist Eigenvektor von M zum Eigenwert 1 und (-2, 5) ist Eigenvektor von M zum Eigenwert 2 (nachrechnen!).
Wenn man M auf einen Eigenvektor multipliziert, erhaelt man ein Vielfaches des Eigenvektors. Daher gilt M * T = T * D (nachrechnen!). Multiplizierst Du diese Gleichung von rechts mit T^-1 hast Du eine alternative Darstellung von M, naemlich M = T * D * T^-1. Das klappt mit normierten und mit nicht normierten Eigenvektoren.
Willst Du nun z.B. die dritte Potenz von M bestimmen, kannst Du das so machen:
M^3 = T D T^-1 * T D T^-1 * T D T^-1 = T D D D T^-1 = T D^3 T^-1
Die Potenz D^3 laesst sich sehr leicht bestimmen - man muss nur die Diagonalelemente zur entsprechenden Potenz nehmen. Dann mutlipliziert man noch mit T von links und T^-1 von rechts und ist fertig. Das klappt natuerlich nicht nur mit 3, sondern mit einer beliebigen Potenz.
Fuer dieses Verfahren spielt die Norm der Eigenvektoren also an keiner Stelle eine Rolle.
Ich nehme mal an, dass Du folgendes Szenario meinst:
In der Aufhaengung der Tuer (Breite B, Masse M) ist eine Feder angebracht, die stets versucht, die Tuer wieder zu schliessen. Sie uebt dafuer ein Drehmoment D aus. Gegen dieses Drehmoment arbeitest Du mit Deiner Maximal-Kraft F im Abstand r von der Aufhaengung an. Du uebst dadurch das Drehmoment r * F aus.
Damit sich ueberhaupt etwas tut, muss r * F > D gelten (Du musst weit genug aussen angreifen oder eben stark genug druecken). Mit dem "Netto-Drehmoment" r * F - D beschleunigst Du nun die Tuer; je laenger Du drueckst, desto schneller bewegt sie sich. Die Zeit t(α), die Du benoetigst, um die Tuer um den Winkel α zu oeffnen, ergibt sich zu:
Das heisst: Je weiter aussen Du angreifst, desto schneller hast Du die Tuer geoeffnet. Es macht also durchaus Sinn, dass sich Tuerklinken normalerweise aussen an Tueren befinden :)
Ich wuerde Dir auch die Computertomographie (CT) als Anwendungsgebiet linearer Gleichungssysteme vorschlagen. Man findet dazu zwar einige Quellen im Internet, aber ich moechte Dir als Startpunkt eine eigenstaendige Zusammenfassung geben:
Verschiedene Materialien (Knochen, Fett, Muskelgewebe, Keramik, ...) absorbieren Strahlung unterschiedlich stark. Wie stark, beschreibt man mit dem sogenannten Absorptionskoeffizienten (AK); dies ist eine positive Zahl (je groesser, desto staerker wird Strahlung absorbiert). Genauer gilt (vgl. auch https://de.wikipedia.org/wiki/Absorptionskoeffizient):
Schauen wir uns nun an, was passiert, wenn ein Roentgenstrahl hintereinander zwei verschiedene Materialien durchlaeuft:
Analoge Formeln erhaelt man auch fuer drei und mehr Materialien: Die Summe der Produkte aus im Material zurueckgelegter Strecke mit dem jeweiligen AK ergibt den Logarithmus des Intensitaetsverhaeltnisses. Eine Messung von Eingangs- und Ausgangs-Intensitaet liefert also die rechte Seite dieser Gleichungen - und damit eine lineare Gleichung fuer die AK.
Die Grundidee der CT ist nun folgende: Man denkt sich einen Querschnitt des zu untersuchenden Objekts in viele kleine Pixel / Quadrate aufgeteilt. Jedes dieser Quadrate hat seinen eigenen AK. Bestrahlt man das Objekt nun aus verschiedenen Richtungen und misst jeweils Eingangs- und Ausgangs-Intensitaet, kann man lineare Gleichungen fuer diese AK sammeln. Hat man genug Gleichungen, kann man die unbekannten AK rechnerisch bestimmen. Hier ein Beispiel fuer neun Pixel (Hoehe und Breite ℓ):
Die fuenf rot dargestellten Strahlen legen in jedem Pixel die Strecke ℓ zurueck, der gruene Strahl √5/2 * ℓ und die drei blauen Strahlen jeweils √2 * ℓ. Die Logarithmen aus den jeweils gemessenen Intensitaetsverhaeltnissen kuerze ich der Uebersichtlichkeit wegen mit v1, v2, ..., v9 ab. Insgesamt lauten die neun linearen Gleichungen:
Ueber dieses Gleichungssystem kannst Du (theoretisch auch von Hand) die AK bestimmen. Schliesslich faerbst Du die neun Pixel entsprechend der AK ein (je hoeher der AK, desto heller). Dies liefert ein sw-Bild des untersuchten Querschnitts. Bei genuegend hoher Aufloesung kann man dann z.B. Knochen von Muskelgewebe unterscheiden. Ich gebe Dir ein Rechenbeispiel mit Loesung (nachrechnen solltest Du zur Kontrolle selbst):
Vom Prinzip her kann man so auch hochaufloesendere Bilder erstellen; fuer jedes Pixel benoetigt man eben eine Gleichung. Um aus noch mehr Richtungen messen zu koennen, dreht sich ein CT-Geraet um das zu untersuchende Objekt herum.
Dies sollte fuer einen Schulvortrag ausreichend erklaeren, wozu man lineare Gleichungssysteme verwenden kann und warum man an moeglichst guten Loesungsverfahren interessiert ist: Fuer ein detaillierteres Bild, sagen wir 1000x1000 Pixel, haette man ja schon eine Million Gleichungen!
In der Praxis ist das alles wie erwartet ein bisschen komplizierter (vielleicht ein moeglicher "Ausblick" fuer Deinen Vortrag): Es koennte z.B. passieren, dass das Gleichungssystem aufgrund von Messfehlern (oder auch weil sich das Objekt bewegt) nicht loesbar ist. Man kann sich also fragen, wie man dennoch eine moeglichst gute Loesung (die die Gleichungen in etwa erfuellt) finden kann. Unterm Strich verwendet man heute effektivere Verfahren zur Bildrekonstruktion (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Gefilterte_R%C3%BCckprojektion), aber die hier beschriebene Grundidee findt sich in diesen immer noch wieder.
Ich moechte Dir zwei Loesungswege anbieten:
Energieerhaltung: Im Kondensator wirkt auf das Teilchen (Ladung q, Masse m) die konstante Kraft F = E * q = U/d * q, d.h. beim Durchfliegen des Kondensators wird am Teilchen die Arbeit
W = Kraft * Strecke = F * d = U * q
verrichtet. Die kinetische Energie des Teilchens aendert sich um genau diese Arbeit. Um sich dabei sicher zu sein, muss man den Energieerhaltungssatz schon sehr gut verstehen. Ein aufwendigerer, aber physikalisch leichter zu verstehender Weg fuehrt ueber die Gesetze der gleichmaessig beschleunigten Bewegung.
Beschleunigte Bewegung: Wie gesagt wirkt auf das Teilchen die konstante Kraft F = U/d * q, d.h. es wird mit der Beschleunigung a = U/d * q/m gleichmaessig beschleunigt. Wenn das Teilchen beim Eintritt die Geschwindigkeit v0 hat, dann hat das Teilchen zum Zeitpunkt t (nach Eintritt in den Kondensator) die Strecke
s(t) = v0 * t + a/2 * t^2
zurueckgelegt. Jetzt kann man ausrechnen, wie lange das Teilchen benoetigt, um durch den Kondensator zu fliegen, indem man die quadratische Gleichung s(T) = d nach der Durchflugszeit T aufloest. Man erhaelt eine positive Loesung, naemlich T = (wurzel(v0^2 + 2ad) - v0)/a. Nach dieser Zeit hat das Teilchen die Geschwindigkeit:
v(T) = v0 + a * T = wurzel(v0^2 + 2ad)
Die kinetische Energie nach Durchfliegen des Kondensators ist also:
Ekin = m/2 * v(T)^2 = m/2 * v0^2 + U * q
Insgesamt hat sich die kinetische Energie also um U * q geaendert.
Bei dem Ansatz A(t) = e^(λt) handelt es sich nicht um die allgemeine Loesung, sondern eben nur um einen Ansatz. Mit diesem Ansatz kannst Du bestimmen, fuer welche (komplexen) Werte von λ diese Funktion eine Loesung der Differentialgleichung (DGL) ist. Mehr nicht.
Die verschwiegene Beobachtung ist nun, dass die DGL linear ist, d.h. dass Summen und Vielfache von Loesungen wieder Loesungen sind. Wenn Du ueber den Ansatz also herausfindest, dass e^(λ1 t) und e^(λ2 t) Loesungen sind, weisst Du auch, dass (fuer beliebige komplexe Zahlen C1 und C2)
x(t) = C1 * e^(λ1 t) + C2 * e^(λ2 t)
eine Loesung der DGL ist - rechne nach! Aus dieser Ueberlegung geht nicht hervor, dass es sich dabei um alle Loesungen handelt - es haette ja sein koennen, dass man mit obigem Ansatz welche vergisst, d.h. dass es noch andere Loesungen gibt, die eben anders aussehen... Man kann aber beweisen, dass es sich im Fall w0 ≠ 0 wirklich um alle Loesungen handelt.
Schliesslich kannst Du die beiden freien Konstanten an die Startbedingungen anpassen, typischerweise den Ort x0 und die Geschwindigkeit v0 zum Zeitpunkt t=0. Diese Bedingungen sehen so aus:
x0 = x(0) = C1 + C2
v0 = x'(0) = C1 λ1 + C2 λ2
Dies ist ein lineares Gleichungssystem fuer C1 und C2. Wenn x0 und v0 reell sind, sind die Loesungen C1 und C2 fuer Deine DGL automatisch reell - rechne nach!
Den Loesungsweg aus dem Bild verstehe ich nur zum Teil... Es steht nicht wirklich etwas Falsches da, aber eben auch keine schluessige Herleitung und schon gar kein Beweis. Es ist etwa so als wuerde man 13 * (4 + 6) = 11 * 11 + 9 = 130 vorrechnen und sagen "es ist ja nichts falsch".
Ich nehme an, dass es Dir hier um die Uebung geht und nicht unbedingt um Effizienz. Ich erlaeutere Dir den einfachsten Algorithmus, der mir einfaellt:
Grundlage: Der Logarithmus Naturalis (ln) laesst sich folgendermassen als Reihe darstellen:
ln(1-t) = - [ t/1 + t^2/2 + t^3/3 + t^4/4 + usw. ] konvergent fuer t∈[-1,1)
Dies liefert die Werte des Logarithmus' auf dem Intervall (0,2], soweit bekannt?
Algorithmus (Beispiel): Deine Implementierung sollte den Logarithmus aber ja fuer alle positiven Zahlen bestimmen koennen. Wie man obige Formel trotz des eigenschraenkten Konvergenzbereichs verwenden kann, zeige ich Dir mal an einem Beispiel:
ln(42)
= ln(e^4 * 42/e^4)
= ln(e^4) + ln(42/e^4)
= 4 + ln(0.7692...)
= 4 + ln(1 - 0.2307...)
= 4 - [ 0.2307.../1 + 0.2307...^2/2 + 0.2307...^3/3 + usw. ]
Du schaust also zuerst, wie oft der Faktor e = 2.7182... in die gegebene Zahl passt - in diesem Fall ist e^3 noch kleiner als 42, e^4 ist erstmals groesser als 42. Daher laesst sich 42/e^4 = 1 - t schreiben fuer ein t∈(0,1). Je mehr Summanden Du mitnimmst, desto genauer wird Dein Resultat.
Die Grundlagen: Bei einer gleichmaessig beschleunigten Bewegung veraendert sich die Geschwindigkeit eines Koerpers gleichmaessig - daher der Name. Wird ein Koerper aus der Ruhe (Zeitpunkt 0) beschleunigt, ist seine Geschwindigkeit v zu einem spaeteren Zeitpunkt t gegeben durch:
v = a * t (a ist die (konstante) Beschleunigung)
Ist Dir klar, warum diese Formel so aussehen muss? Zeichne Dir vielleicht das Schaubild (v in Abhaengigkeit von t) - dann siehst Du, warum es "gleichmaessig" genannt wird.
Jetzt kann man sich fragen, welche Strecke s der Koerper waehrend dieser Zeit insgesamt zurueckgelegt hat. Das ist garnicht so leicht zu beantworten, da sich die Geschwindigkeit ja staendig geaendert hat. Die Antwort lautet:
s = 1/2 * a * t^2
Das laesst sich auch erklaeren, ist aber etwas schwieriger. Wenn Dich die Begruendung interessiert, kannst Du gerne nochmals nachfragen.
So, jetzt hast Du die beiden grundlegenden Beziehungen von Weg s, Geschwindigkeit v, Beschleunigung a und Zeit t bei einer gleichmaessig beschleunigten Bewegung.
Zu Deiner Aufgabe: In Deiner Aufgabe ist die Dauer des Vorgangs unbekannt. Daher druecken wir zunaechst die Zeit t durch andere Groessen aus. Aus der ersten Gleichung wissen wir:
t = v / a
Setzen wir dies in die zweite Gleichung ein, erhalten wir:
s = 1/2 * a * (v / a)^2 = 1/2 * a * v^2 / a^2 = 1/2 * v^2 / a
Jetzt haben wir einen Zusammenhang zwischen s, v und a. Unbekannt ist nur noch die Beschleunigung a. Also loesen wir nach a auf:
a = 1/2 * v^2 / s = v^2 / (2 * s)
Da Du die Endgeschwindigkeit v und den zurueckgelegten Weg s kennst, kannst Du nun also a bestimmen. Was erhaelst Du? Wie kannst Du schliesslich mit den nun bekannten Werten die Dauer des Vorgangs berechnen?
Wenn Du Fragen zu den Rechnungen hast oder sicher gehen willst, dass Deine Ergebnisse stimmen, kannst Du auch gerne nochmals nachfragen. Viel Erfolg!
Loesungsidee: Ich wuerde mir das anhand einer Differentialgleichung ueberlegen. Sei f(x) die Menge des Medikaments (in ml) im Blut zum Zeitpunkt x (in s). Dann gilt laut Aufgabe:
f'(x) = 0.1 - 0.02 * f(x) = 0.02 * (5 - f(x))
Aenderung = 0.1ml kommen dazu, 2% des Bestands werden abgebaut
Soweit plausibel? Jetzt muss man eine Funktion f suchen, fuer die diese Gleichung gilt. Wahrscheinlich weisst Du aus dem Unterricht aber schon, dass dies die Differentialgleichung des beschraenkten Wachstums ist und kennst die Loesung, oder? Sie lautet:
f(x) = 5 + c * e^(-0.02x)
Dabei ist c irgendeine (noch zu bestimmende) Konstante.
Du kannst zur Kontrolle pruefen, ob f wirklich eine Loesung der Differentialgleichung ist - ist Dir klar, wie?
Wahrscheinlich gilt f(0) = 0 gilt, oder? Dies erlaubt Dir, die Konstante c zu berechnen. Was bekommst Du fuer c heraus?
Wenn Du die Ueberlegung bis hierhin nachvollziehen konntest, hast Du die gesuchte Funktion f und weisst, dass es sich wirklich um beschraenktes Wachstum handelt.
zu Deiner Loesung: Du hast f(x) = 0.1x * 0.98^x vorgeschlagen. Zur Sekunde x berechnest Du damit die Menge, die insgesamt verabreicht wurde (0.1x) und reduzierst diese so, als ob von Anfang an zwei Prozent dieser Gesamtmenge pro Sekunde abgebaut worden waeren - das ist aber nicht so, denn die Menge kam ja nach und nach ins Blut.
Allgemein ist zu sagen, dass es eher schwierig ist, die Funktion f direkt durch Ueberlegen zu bestimmen, wenn man nur Informationen ueber die Aenderungsrate von f gegeben hat.
zum Begriff: Nur Funktionen der Form f(x) = S + c * e^(-p x) mit irgendwelchen Zahlen S, c und p (p darf nicht negativ sein) bescheiben "beschraenktes Wachstum". Alle anderen Funktionen - auch wenn sie ein aehnliches Schaubild haetten - zaehlen nicht dazu.
Schauen wir doch mal, ob wir nicht eine Formel finden koennen! Gesucht ist der Anteil a(t), der nach der Zeit t noch nicht zerfallenen Atomkerne. Gegeben ist die Halbwertszeit; nennen wir sie T. Hier zunaechst eine kleine Wertetabelle:
a(0) = 1, a(T) = 1/2, a(2T) = 1/4, a(3T) = 1/8, a(4T) = 1/16 usw.
Soweit klar? Fuer jede Halbwertszeit, die wir abwarten, halbiert sich der Anteil der noch uebrigen Kerne. Warten wir also eine Zeit t, so hat sich die Kernanzahl t/T mal halbiert. Dies fuehrt uns zur Vermutung:
a(t) = 1 / 2^(t/T)
Das ist in der Tat die korrekte Formel - probier doch mal aus, ob die Werte aus der Wertetabelle wirklich rauskommen! Das Nette an dieser Formel ist, dass sie uns auch verraet, was es zu anderen Zeitpunkten als 0, T, 2T, ... passiert - fuer t koennen wir ja jede Zeit einsetzen.
So weit, so gut. Du willst jetzt wissen, wie gross t sein muss, damit a(t) = 3/4 gilt (25% zerfallen, 75% uebrig). Dazu musst Du die Gleichung
3/4 = 1 / 2^(t/T)
nach t aufloesen. Bekommst Du das hin?
Du vermutest richtig, sooo schwierig ist es nicht. Also:
Schreibe Dir die Formel fuer den Stroemungsleitwert vor der Verunreinigung Gv = ... ("v" fuer "vorher") und nach der Verunreinigung Gn = ... ("n" fuer "nachher") auf. Die beiden Formeln unterscheiden sich nur im Wert fuer den Radius; sie enthalten beide noch die Unbekannten l und n.
Jetzt ist nach dem Faktor gefragt, um den sich die beiden Werte unterscheiden. Berechne also Gn / Gv. An dieser Stelle kuerzen sich die Unbekannten raus. Die beiden Radien kannst Du einsetzen (0,4mm und 0,25mm). Kleiner Tip zur Kontrolle: Das Ergebnis ist 0,15. Kriegst Du die zugehoerige Rechnung hin?
Okay, ich moechte das Ergebnis noch etwas kommentieren: Du hast Gn / Gv = 0,15 errechnet; anders aufgeschrieben also Gn = 0,15 x Gv. Der Stroemungsleitwert nach der Verunreinigung betraegt also nur noch 15% von dem im sauberen Zustand. Die Rechnung beweist, dass dies unabhaengig von Viskositaet n und Laenge l immer so ist (denn diese beiden Variablen kuerzen sich raus).
Auf den ersten Blick kann man das erstaunlich finden! Es waere eine gute Uebung fuer Dich, die Aufgabe mit konkreten Werten fuer n und l zu wiederholen: Denk Dir zwei Werte aus, berechne Gv und Gn und teile diese beiden Zahlen durcheinander. Es wird 0,15 rauskommen!
