Mathe Abitur?

Kann mir bitte jemand diese Aufgabe erklären? Vielleicht auch generell was Ju überhaupt ist. Danke schon mal

Answer 1

[evtldocha]

Die Integralfunktion hier ist:

$I_u\left(x\right)=\int_u^x\frac{1}{1+t^2}dt\ =\left[\arctan\left(t\right)\right]_u^x=\arctan\left(x\right)-\arctan\left(u\right)$

(Das u ist also die untere Grenze)

Meine Begründung wäre dann hier:
Für den Integranden f(t) gilt: f(t) > 0 ∀ x ∈ ℝ ⇒ I_u(x) = 0 ⇔ x = u

Comments

[tunik123]

Ich hätte das etwas "volkstümlicher" geschrieben:

I_u(x) = 0 ⇔ arctan(x) = arctan(u) ⇔ x = u

mit der Begründung, dass die letzte Äquivalenz deshalb gilt, weil die arctan-Funktion streng monoton (steigend) ist.

[evtldocha]

@tunik123

Ich wollte darauf hinaus, dass man die Integralfunktion erst gar nicht berechnen muss, um die Aussage zu begründen. Ich habe das auch nur getan, da es offensichtlich zusätzlich ein Problem mit Begrifflichkeit "Integralfunktion" gab.

Answer 2

[ralphdieter]

Vorab: Die Integralfunktion Jᵤ von f ist nichts anderes als die Stammfunktion von f mit Jᵤ(u)=0.

Du sollst nun zeigen, dass Jᵤ genau eine Nullstelle hat. Die Nullstelle x=u ist ja schon per Definition klar. Zu zeigen ist nur noch, dass es keine weiteren Nullstellen gibt. Dazu brauchst Du folgende Erkenntnisse:

1. Jᵤ ist differenzierbar mit Jᵤ'=f
2. f(x) ≠ 0 für alle x∊ℝ.

Nimm jetzt an, es gäbe eine weitere Nullstelle v≠u und wende den Mittelwertsatz an (⇒ Jᵤ'(ξ)=0 ⇒ Widerspruch). Das war's dann auch schon.

Anmerkung: Der Beweis klappt für jede auf ℝ stetige Funktion f, die keine Nullstelle hat, also auch für f(x)=eˣ, f(x)=0,001 oder f(x)=cos(x)-2. Die spezielle Wahl von f soll wohl nur verhindern, dass jemand Jᵤ explizit berechnet und auf Nullstellen untersucht.