Mathe Logarithmus?
Hey, kann mir vielleicht jemand erklären wie ich die Aufgabe 4) ohne Taschenrechner lösen kann?
Danke im Voraus
4 Antworten
Hallo,
da Du diese Frage gestellt hast, nehme ich an, daß Du keine Ahnung davon hast, was Logarithmen eigentlich sind.
Logarithmen sind nichts anderes als Exponenten. Ein Exponent zeigt an, wie oft eine Basis mit sich selbst multipliziert wird. So kann man 2*2*2 als 2^3 aufschreiben, denn die 2 wird dreimal mit sich selbst multipliziert. 2^3 ist eine Potenz. Die 2 ist dabei die Basis, die 3 ist der Exponent. Das wäre noch nicht so furchtbar aufregend, wenn man mit Exponenten einfach nur Papier und Tinte sparen könnte. Natürlich ist es praktischer, 2^10 zu schreiben als 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2.
Interessanter ist aber folgendes: Wenn Du nämlich 2^3 mit 2^5 multiplizierst, ergibt das ausgeschrieben (2*2*2)*(2*2*2*2*2) oder als Potenz 2^(3+5)=2^8, denn insgesamt wird die 2 achtmal mit sich selbst multipliziert.
Um das Ergebnis zu bekommen, machst Du keine Multiplikation, sondern eine Addition, nämlich eine Addition der Exponenten. Durch diese Addition bekommst Du das Ergebnis einer Multiplikation.
Das klappt auch bei der Division: 2^5:2^3=2^(5-3)=2^2. Aus der Division ist eine Subtraktion geworden. Da eine Addition viel einfacher ist als eine Multiplikation und eine Subtraktion viel einfacher als eine Division, ist das eine gewaltige Arbeitserleichterung - jedenfalls, wenn man keinen Taschenrechner hat.
Das wäre auch noch nicht so doll, wenn es nur um Sachen wie 2^5:2^3 ginge, also um 32:8. Das kriegt man auch noch so hin, wenn man das kleine Einmaleins drauf hat (was jeder Grundschüler gelernt haben sollte).
Aber wenn es um Sachen wie 814007:2133 geht oder gar um die 4,7. Wurzel aus 10511,2, dann könnte man die Division durch eine Subtraktion ersetzen und das Wurzelziehen durch eine Division.
Vor langer Zeit, als an Taschenrechner und Computer noch lange nicht zu denken war, kam Anfang des 17. Jahrhunderts ein sehr kluger Mensch namens John Napier auf eine geniale Idee: Wenn aus 2^5*2^3 2^(5+3) wird, ließe sich dieses Prinzip nicht auf alle möglichen Zahlen anwenden? Es ist doch so: Multipliziere ich zwei Potenzen mit gleicher Basis, bekomme ich eine neue Potenz zu dieser Basis, deren Exponent die Summe der Exponenten der beiden Faktoren ist.
Allgemein: a^m*a^n=a^(m+n), wobei a irgendeine Zahl größer Null, noch besser größer als 1 ist, und m und n zwei beliebige Zahlen.
Logarithmen müssen nämlich keine natürlichen Zahlen wie 1, 2, 3 usw. sein, sondern können auch Bruchzahlen sein wie 3,5 oder 423/18 oder so.
Mit solchen Exponenten kannst Du jede Zahl, die größer als Null ist, als Potenz darstellen. Du mußt Dich nur für eine Basis entscheiden. Ein Nachfolger von John Napier, nämlich Henry Briggs, wählte als Basis die 10.
Er berechnete also für alle möglichen Zahlen, mit welchem Exponenten man die 10 potenzieren muß, um diese Zahl zu erhalten. Bei Zahlen wie 100 oder 1000 ist das noch einfach - da braucht man nur die Nullen hinter der 1 zu zählen. Der Zehnerlogarithmus von 100 ist 2, denn 10^2=100; der Zehnerlogarithmus von 1000 ist 3, denn 10^3=1000.
Briggs hat aber nicht nur solche einfachen Zahlen berechnet, sondern auch einen Logarithmus für 23 zum Beispiel; auf vier Nachkommastellen gerundet wäre das
dann 1,3617, denn 10^1,3617 ergibt etwa 22,999, was schon recht nah an 23 ist.
Nimmst Du noch eine Nachkommastelle dazu, also rund 1,36173, kommst Du schon auf 23,0001, was genau genug für die meisten Berechnungen sein dürfte.
Briggs hat die Zahlen nicht nur ausgerechnet, sondern wie vorher schon Napier, die gefundenen Logarithmen in Tabellen, sogenannten Logarithmentafeln veröffentlicht. Das muß eine Sauarbeit gewesen sein - aber nur für Briggs. Alle anderen, die jetzt schwierige Berechnungen machen mußten wie 814007:2133 schlugen einfach in den Tafeln die Logarithmen dieser beiden Zahlen nach, nämlich 5,91063 und 3,32899, rechneten 5,91063-3,32899=2,58164, was mit ein wenig Übung sogar im Kopf geht, schlugen unter 2,58164 nach, zu welcher Zahl dieser Logarithmus gehört, fanden 381,628 und waren sehr nah am Ergebnis heutiger Taschenrechner von 381,6254102.
Noch praktischer war es beim Ziehen krummer Wurzeln. Anstatt mühsam die 4,17te Wurzel aus einer Zahl zu ziehen, teilte man einfach den Logarithmus dieser Zahl durch 4,17 und bekam den Logarithmus der gesuchten Wurzel.
Natürlich kann man auch Logarithmen zu allen möglichen Basen berechnen. Neben dem Zehnerlogarithmus gibt es den natürlichen L., der die Eulersche Zahl e als Basis hat, oder den Zweierlogarithmus mit der Basis 2.
Dadurch, daß man zu jeder möglichen Zahl Logarithmen nachschlagen konnte, ließ sich nun aus einer Multiplikation eine Addition machen, aus einer Division eine Subtraktion. Wurzelziehen wurde durch eine Division erledigt, Potenzieren durch eine Multiplikation. Wichtig war nur, daß die Zahlen, mit denen man rechnete, Logarithmen zur gleichen Basis besaßen.
Jetzt sollte klar sein, was der Zehnerlogarithmus zu 10^5 ist: Natürlich die 5. Es ist die Zahl, mit der man die Basis 10 potenzieren muß, um 10^5 zu erhalten.
Anders: 10 hoch was ist 10 hoch 5? Natürlich 10 hoch 5 (steht ja schon da).
Es geht auch etwas trickiger: 3 hoch was ergibt 9 hoch 6? Natürlich nicht 6, denn 9 hoch ist nicht 3 hoch.
Da 9 aber 3^2 ist, ist 9^6 gleich (3^2)^6. Das aber ist nach den Potenzgesetzen, hier:(a^m)^n=a^(m*n) 3^12. Der Dreierlogarithmus von 9^6 wäre demnach 12, denn 3^12=(3^2)^6=9^6.
Mach Dich mit den Potenz- und Logarithmengesetzen vertraut (es gibt ja nur ein paar davon), dann wirst Du in Zukunft über solche Aufgaben lachen.
In unseren Zeiten, in denen es kostenlose Apps zum Rechnen gibt und Taschenrechner allgegenwärtig sind, braucht man Logarithmen zwar nicht mehr unbedingt zum Dividieren oder Wurzelziehen und Logarithmentafeln haben nur noch wir Älteren im Regal stehen, aber um etwas wie 12,8^x=5400 zu berechnen, sind Logarithmen immer noch nützlich. Mit Hilfe des Logarithmus bekommt man das x nämlich aus dem Exponenten und stellt die Gleichung zu x*lg (12,8)=lg (5400) um. So kommt man ganz einfach zu x=lg (5400)/lg(12,8)=3,370990022.
Herzliche Grüße,
Willy
Wir haben noch damit gearbeitet. Man mußte ja auch mitdenken, weil nur die Nachkommastellen, die Mantisse, angegeben waren, aber nicht die Zahl vor dem Komma, die Kennziffer. Auch die Werte für den Sinus, Kosinus und den Tangens waren dort aufgelistet. An Taschenrechner war noch nicht zu denken.
Bei b)
Mit welcher Zahl muss man 10 potenzieren, damit 10^1.5 herauskommt?
Du kannst die Potenz aus dem Inneren des Logarithmus als Faktor vor den Logarithmus ziehen. Als Beispiel a)
4 * log_3(9) = log_3(9^4)
Ja, das kann man machen.
Wäre es nicht einfacher 9^4=(3^2)^4=3^8 zu schreiben und (spätestens dann) zu überlegen, mit welcher Zahl man 3 potenzieren muss, damit 3^8 herauskommt?
Logarithmus ist ja genau das: Mit welcher Zahl muss man die Basis potenzieren, damit das Argument in Klammern heraus kommt.
Du kannst dafür den Basiswechsel des Logarithmus anwenden oder die Potenzregel.
Ich hätte mich jetzt auch zu "wir Ältere" gezählt, aber selbst meine Logarithmentafel ist schon ein Erbstück.