Lineares Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen?
Guten Tag,
bei meiner Frage geht es um das Aufstellen von Funktionsgleichungen mit linearen Gleichungssystemen. Es gilt, alle ganzrationale Funktionen vom Grad zwei zu bestimmen, deren Graphen durch die Punkte A(2|0) und B(-2|0) verläuft.
Ich habe bisher ein lineares Gleichungssystem anhand der allgemeinen Funktionsgleichung f(x) = ax² + c erstellt, da die Parabel ja achsensymmetrisch ist. Dieses Gleichungssystem hat jedoch unendlich viele Lösungen (eine Zeile nur mit Nullen) und ich weiß nicht, wie ich jetzt weiter verfahren muss. Ich dachte, ich könnte eine Funktionsschar aufstellen, jedoch weiß ich nicht, wie das in diesem Fall funktioniert. Ich weiß somit nicht, wie ich die Lösung zu dieser Aufgabe angebe.
Ich würde mich über jede Hilfe freuen. Danke im Voraus!
2 Antworten
Es wird tatsächlich eine Funktionenschar.
Aus a * 2² + c = 0 folgt c = -4a.
Es ist also f(x) = ax² - 4a für alle reellen, von 0 verschiedenen a.
Ich habe auch schon Leute erlebt, die einen neuen Parameter, z.B. t einführen, und schreiben
f(x) = tx² - 4t.
Über den Fall a = 0 hatte ich auch schon nachgedacht, aber da explizit eine quadratische Funktion verlangt wurde, habe ich a = 0 ausgeschlossen.
Wenn da "höchstens 2" gestanden hätte, dann hätte ich keine Skrupel gehabt, den Fall a = 0 auch zuzulassen. Die konstante Funktion f(0) = 0 ist dann auch eine Lösung. Die hat ja bei -2 und 2 Nullstellen, und nicht nur dort ;-)
A(2|0) und B(-2|0)
Wenn man alle Nullstellen einer ganzrationalen Funktion kennt, ist der einfachste Ansatz stets die faktorisierte Form der Funktion.
Im Fall des Grades "2" der ganzrationalen Funktion sind 2 Nullstellen auch die maximal möglich Zahl der Nullstellen und damit:
Wenn man will (oder wenn von der Aufgabenstellung gefordert) kann man das dann noch ausmultiplizieren.
Ein LGS ist da eigentlich komplett überflüssig (mit der gleichen Einschränkung wie oben).
Da in der Aufgabenstellung steht "vom Grad 2" und nicht "vom Grad höchstens 2" muss die Lösung a = 0 des Gleichungssytems ausdrücklich ausgeschlossen werden.
(Für Fortgeschrittene: Um bei Formulierungen wie "vom Grad höchstens 2" die Nullfunktion nicht jedesmal ausdrücklich erwähnen zu müssen, vereinbart man oft, der Nullfunktion den Grad -∞ zuzuweisen.)