Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit?
Wenn ich überprüfen möchte, ob Vektoren linear abhängig, bzw. unabhängig voneinander sind, setze ich sie ja gleich einem Nullvektor und rechne das ganze dann mit Gaußverfahren aus. Woran erkenne ich dann am Ende, dass etwas linear abhängig oder unabhängig ist? Zum Beispiel, wenn ich eine Zeile nur mit 0 habe. Ist es dann abhängig oder unabhängig? Bitte mit Begründung.
3 Antworten
Wenn du durch das ein- oder mehrfache Addieren beliebiger Zeilen (multipliziert mit einem Faktor), eine andere Zeile auf 0 bringen kannst, dann ist diese linear abhängig von den anderen.
Oder anders gesagt, wenn eine Zeile A sich als Summe anderer Zeilen in der Form x_1 * X_1 + x_2 * X_2 + ... ausdrücken lässt mit x € R und X € V.
Man bildet eine Linearkombination (z.B. ax+by) aus den Vektoren (z.B. x, y) und setzt diese gleich dem Nullvektor 0. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn z.B.
ax+by = 0
und wenn diese Gleichung ausschliesslich dann lösbar ist, wenn die Parameter a und b beide null sind.
Für mehr als zwei Vektoren kämen einfach weitere Glieder zur Linearkombination hinzu.. also z.B. ax+by+cz = 0. Bei linearer Unabhängigkeit müssen a, b und c dann alle null sein (es darf keine andere Lösung geben).
Am Ende des Gauss-Algorithmus müsste eine Dreiecksmatrix vorliegen, bei welcher auf der Hauptdiagonalen der n*n-Matrix keine Nullen stehen dürfen, ansonsten wären die Vektoren linear abhängig.
Viel einfacher läßt sich dies mit der Determinante berechnen.
Auszug aus meinem Konzept Analytische Geometrie:
Falls die Determinante gleich Null ist gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen.
Leider haben wir bisher keine dreidimensionale Determinante gelernt und es beantwortet auch meine Frage nicht wirklich...
Soweit hab ichs auch verstanden. Ich würde nur gern wissen woran ich jetzt erkenne, dass das Ergebnis nur null sein kann.
Wenn ich im Gaußverfahren eine Zeile nur mit Nullen habe, bekomme ich ja unendlich Lösungen. Aber heißt das dann, dass ich mehrere Dinge einsetzen kann und sie abhängig sind, oder dass alles auf Null hinausläuft und sie unabhängig sind?