Lineare Abhängigkeit beweisen?
Hallo liebe Community,
ich habe folgende Aufgabe:
Finden Sie alle a Element R, so dass die Vektoren
in R^3 linear abhängig sind.
Ich bin da nun wie folgt rangegangen. Ich habe mir erstmal ein Gleichungssystem erstellt um a auszurechnen:
Dieses Gleichungssystem habe ich mit Taschenrechner gelöst und kam auf
Ein weiteres Ergebnis war, dass a eine beliebige Zahl sein kann, aber dies ist nur der Fall, wenn Lambda1, Lambda2 und Lambda3 null sind und das soll ja hier nicht sein, da damit die lineare Abhängigkeit nicht gezeigt ist. Die lineare Abhängigkeit ist ja durch eine nicht-triviale Linearkombination = 0 gezeigt. Aber wenn alle Lambdas 0 wären, dann wäre es ja eine triviale Linearkombination.
Es wäre nett wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte wie ich dieses Gleichungssystem auch händisch löse, weil ich kriege das nur mit Taschenrechner hin.
Ich habe probiert die erste Gleichung nach Lambda1 aufzulösen und das Ergebnis davon dann in die anderen Gleichungen einzusetzen kam damit aber nicht wirklich weit. Was ich durch meine Rechnung mit Taschenrechner schon weiß ist, dass für Lambda2 eigentlich wieder Lambda2 rauskommen sollte, aber ich weiß nicht wie man damit dann auf die Plus/Minus Wurzel 3 kommt. Ich habe auch probiert die erste Gleichung nach a aufzulösen, kam aber auch damit nicht wirklich weit.
Aber das händische Ausrechnen des Gleichungssystems ist eher Nebensache, aber es wäre trotzdem cool, wenn mir jemand einen Ansatz dafür geben könnte. Wir sollen die Aufgabe in einem Behauptung-Beweis-Schema aufschreiben und wir müssen keinen Rechenweg angeben. Also war meine Idee jetzt als Behauptung folgendes zu schreiben:
Für a = +-sqrt(3) Element der reellen Zahlen sind die Vektoren (1 a 0), (a 1 2) und (0 1 -1) in R^3 linear abhängig.
Um nun diese Behauptung zu beweisen bin ich wie folgt vorgegangen. Ich habe dieses Gleichungssystem aufgestellt:
Und bin damit auf folgende Lösungen gekommen:
Lambda 3 ist eine beliebige reelle Zahl, ungleich 0. Da es für a = sqrt(3) eine nicht-triviale Linearkombination gibt die den Wert null annimmt, sind die Vektoren (1 a 0), (a 1 2), (0 1 -1) linear abhängig für a = sqrt(3).
Das gleiche mache ich dann noch für a = -sqrt(3) und dann habe ich ja damit meine Behauptung bewiesen und somit auch die Aufgabe gelöst, oder?
Habe ich alles richtig gemacht? Wo ich mir nicht ganz sicher bin ist, halt, dass ich nirgendwo zeige, dass +-sqrt(3) die einzigen beiden Möglichkeiten für a sind so dass die Vektoren linear abhängig sind.
Also habe ich alles richtig gerechnet, richtig gedacht und habe ich die Beweisführung richtig gemacht? Oder denkt ihr ich sollte die Behauptung ändern in:
a = +-sqrt(3) sind die einzigen beiden Möglichkeiten für a sodass die Vektoren ... linear abhängig sind.
Und dann würde ich in meinen Beweis noch die Berechnung von a einbauen.
2 Antworten
Wenn alle Stricke reißen, kannst du ein LGS immer stumpf mit dem Gauß-Algorithmus lösen (einfach mal googlen).
Aber in diesem Fall geht's auch etwas eleganter, wenn man sich ein wenig geschickt anstellt. Du hast bereits versucht, die erste Gleichung nach λ1 aufzulösen. Was kam dabei heraus?
Ok, und was passiert, wenn du das in die zweite Gleichung einsetzt?
Können wir das vielleicht noch etwas schöner zusammenfassen? :)
Em
(1-a^2) * Lambda2 + Lambda3 = 0
Und kann man das weiter zusammenfassen zu:
-a^2 * Lambda2 + Lambda3 =0
?
Edit: Oh nein kann man nicht, glaube ich, die eins ist schon wichtig.
(1-a^2) * Lambda2 + Lambda3 = 0
Genau.
Und kann man das weiter zusammenfassen zu:
-a^2 * Lambda2 + Lambda3 =0
Edit: Oh nein kann man nicht, glaube ich, die eins ist schon wichtig.
Korrekt, kann man nicht ;)
Wir haben jetzt also zwei Gleichungen in λ2 und λ3, nämlich:
- (1-a²)λ2 + λ3 = 0 und
- 2λ2 - λ3 = 0.
In diesen beiden Gleichungen taucht λ1 gar nicht mehr auf. Können wir einen ähnlichen Trick anwenden, um eine weitere Variable zu eliminieren?
Wir könnten (1-a^2)Lambda2 + Lambda3 = 0 nach Lambda 2 auflösen, das Ergebnis dann in die dritte Gleichung für Lambda zwei einsetzen und dann ausrechnen?
Also zweite Gleichung nach Lambda2 auflösen:
Lambda2 = Lambda3/(a^2-1)
Somit hätten wir in der dritten Gleichung nur noch Lambda3 und a.
2*(Lambda3/(a^2-1))-Lambda3=0
Wir könnten (1-a^2)Lambda2 + Lambda3 = 0 nach Lambda 2 auflösen, das Ergebnis dann in die dritte Gleichung für Lambda zwei einsetzen und dann ausrechnen?
Ja, das könnten wir tun. Dabei kommen wir aber in die Verlegenheit, durch (a² - 1) zu teilen. Da man nicht durch 0 teilen darf, müssen wir dann aber fordern, dass a weder 1 noch -1 ist und diese Fälle gesondert betrachten.
Deutlich einfacher wäre es doch, eine der beiden Gleichungen nach λ3 umzuformen, findest du nicht? ;)
Ja das stimmt :) daran habe ich nicht gedacht.
Also wenn ich (1-a^2)Lambda2 + Lambda3 = 0 nach Lambda3 auflöse, dann bekomm ich folgendes:
Lambda3 = (a^2-1)*Lambda2
Das könnte ich in die dritte Gleichung einsetzen und bekomme dann:
2*Lambda2 - (a^2-1)*Lambda2 =0
Aber einfacher wäre es die dritte Gleichung nach Lambda3 aufzulösen:
Lambda3 = 2*Lambda2
Machen wir das doch zur Übung. Was kommt heraus, wenn du das in unsere "neue" zweite Gleichung
(1-a²)λ2 + λ3 = 0
einsetzt?
Schon ne Ahnung, wie es von hier weitergehen könnte? Ich will eigentlich nicht zu viel spoilern ;)
Wenn ich die zweite Gleichung jetzt auflöse dann bekomme ich als Ergebnis für a^2 = 3 und dann ist a = +/- √3.
Dann kann ich a in die anderen Gleichungen einsetzen.
Wenn ich das also nun einsetze in (3-a^2)*Lambda2= 0, dann kann Lambda2 jede mögliche Zahl in R sein. Und dann setze ich einfach weiter ein und kann alles auflösen.
:)
Fast ;)
Wenn du von (3 - a²) * λ2 = 0 auf a² = 3 kommen möchtest, musst du wieder durch λ2 teilen. Dabei stoßen wir wieder auf das Problem, dass man nicht durch 0 teilen darf, d.h. wir müssen den Fall gesondert betrachten.
Ich verwende gerne einen Satz der Schulmathematik:
"Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist".
Der stimmt in der Uni-Mathematik leider nicht immer, aber bei reellen Zahlen ist der kein Problem ;)
Wenn also (3-a²) * λ2 = 0 ist, muss 3-a² = 0 oder λ2 = 0 sein.
Was passiert aber, wenn λ2 = 0 ist?
Wenn Lambda2 = 0 ist, dann wäre es ja vollkommen egal, welchen Wert a hat. Und dann werden auch die anderen Lambdas zu null.
Aber das darf laut der Aufgabenstellung nicht sein.
Deswegen muss (3-a^2)= 0 werden.
Top :)
Wir haben also gezeigt: Falls es eine nicht-triviale Linearkombination der 3 Vektoren gibt, die den Nullvektor ergibt, dann ist a² = 3.
Oder kurz ausgedrückt: Die Vektoren sind höchstens für a = +- sqrt(3) linear abhängig.
Da du bereits gezeigt hast, dass sie tatsächlich für beide a's linear abhängig sind, hast du insgesamt gezeigt, dass {sqrt(3), -sqrt(3)} exakt die Menge aller a's ist, für die die Vektoren linear abhängig sind.
Vielen lieben Dank. Die Aufgaben so mit dir zu lösen macht echt Spaß. Ich mache relativ viel selber, du gibt's zwar die Denkanstöße, aber im Endeffekt habe ich es trotzdem verstanden. Vielen lieben Dank für deine Zeit und Mühe.
Kein Thema, und danke ebenfalls :) Es kommt leider selten vor, dass Leute hier gewillt sind, selbst zu arbeiten - sie wollen sich lieber die Aufgaben vorrechnen lassen, wozu ich mich dann gar nicht erst motivieren kann.
Mit jemandem, der aktiv mitarbeitet, macht es dafür umso mehr Spaß ;)
Ja, solche Leute gibt es auch, aber ich möchte ja auch was davon mitnehmen und was lernen. Mir kann zwar auch jemand die Aufgaben vorrechnen, aber das bringt mir ja nichts. Dann tippt man die einfach stupide ab und wenn man dann in einer Woche genau die gleiche Aufgabe lösen soll, kriegt man es nicht mehr hin. Das bringt ja nichts. Jetzt weiß ich, dass ich was gelernt habe und ich das gelernte auch anwenden kann.
Warum so kompliziert.
Bilde mit den drei Gegebenen Vektoren das Spatprodukt und setze es auf 0. Damit kannst du a ausrechnen.
Und kannst du mir vielleicht noch erklären wie ich das LGS händisch lösen kann?
Das Spatprodukt haben wir noch nicht behandelt, deswegen darf ich es wahrscheinlich nicht benutzen.
Deswegen der komplizierte Weg. Aber ist dieser komplizierte Weg von mir trotzdem richtig? Und ist die Beweisführung so okay?
Ich habe deine Lösung des LGS nicht kontrolliert. Wenn die aber mit +- \sqrt(3) korrekt ist, hast du die Aufgabe richtig gelöst. Übrigens, das Spatprodukt wird nicht überall gelehrt. Nur, wer das kennt bzw. weiß, wie damit umzugehen, kann es getrost anwenden, auch wenn es nicht gelehrt wird. Es ist nämlich ganz einfach. Kreuzprodukt und Skalarprodukt habt ihr doch wohl gehabt, oder?
Ja die Lösung des LGS ist richtig. Ja das hatten wir, aber ich glaube wir sollen es explizit mit LGS lösen. Aber vielen Dank für deine Antwort.
Dabei kam folgendes heraus:
Lambda1 = -a*Lambda2