Lineare Abhängigkeit bei Vektoren, stehe auf dem Schlauch?
in der Schule haben wir besprochen, dass, wenn die Vektoren linear abhängig sind, gilt: (Vektor 1)= r*(Vektor 2) +s*(Vektor 3)
weil ich das Thema aber nicht so sehr verstehe, habe ich auch danach gegoogelt, und da steht plötzlich überall stattdessen
R*(Vektor 1)+s*(Vektor 2)+t*(Vektor 3)=0
also wir machen das auch mit den linearen Gleichungssystemen aus 3 Gleichungen, allerdings immer mit der oberen Formel, und von der unteren hatte ich noch nie was gehört.
-Wie ist das denn jetzt, bzw welche Formel ist richtig? :(
-Also generell verstehe ich auch nicht richtig den Unterschied, was eine Linearkombination ist, und was Linear abhängig? :O
Zur Info, gauß-algorithmus hatten wir auch nicht.
Und noch mal zur Formel, damit berechnet man ja, ob die Vektoren linear unabhängig oder abhängig sind.
-Aber wie ist das z.b., wenn nur zwei davon linear abhängig sind, weil da ja manchmal z.b. steht " zeichnen Sie die Repräsentanten Dreier Vektoren, von denen zwei linear unabhängig, alle drei aber linear abhängig sind"? Gibt es da wohl Unterschiede, das es bei allen Vektoren anders ist als bei einzelnen??
Sorry für diese sehr lange Frage, hatte in diesem Thema von vorneherein Schwierigkeiten, und versuche gerade, alles durchzugehen und es so gut wie möglich zu verstehen, was aber irgendwie nicht gerade gelingt.
Zur Info, die grundlegenden Fragen sind mit einem Bindestrich Markiert. Bin dankbar um jede Antwort! :D
5 Antworten
kollineare Vektoren liegen parallel zueinander und können aber unterschiedliche Längen
Formel a*x=b → a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz)
Beispiel: a(1/2/3) und b(2/4/6) → (1/2/3)*2=(2/4/6)
komplanare Vektoren sind 3 Vektoren,die alle in einer Ebene liegen
Das bedeutet,dass sich mindestens einer der beteiligten Vektoren als Linear-kombination der restlichen Vektoren darstellen läßt
c=a+b mit a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) ergibt c(cx/cy/cz) ist eine Vektoraddition
nun werden die beiden Parameter r und s (sind nur Zahlen),ergibt
c=r*a+s*b nennt man eine Linearkombination
Man kann aus den beiden Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) beliebig viele Vektoren produzieren (weil r und s frei wählbar)
Satz:Drei Vektoren a,b und c sind genau dann komplanar,wenn es drei reelle Zahlen,r,s und t gibt,die nicht alle gleich NULL sind.
r*a+s*b+t*c=0
Hinweis:Nicht jeder dieser 3 Vektoren a,b und c,die in einer Ebene liegen,muß als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darstellbar sein.
Beispiel:a(-2/6/-8) und b(1/-3/4) und c(1/1/0)
Vektor a als Linearkombination a=(-2)*(1/-3/4)+0*(1/1/0) a,b u. c komplanar
Vektor c ist aber nicht als Linearkombination von a und b darstellbar.
(1/1/0)=r*(-2/6/-8)+s*(1/-3/4) wir setzen s=1
(1/1/0)=r*(-2/6/-8)+(1/-3/4)
(1/1/0)-(1/-3/4)=(0/4/-4)
(0/4/-4)=r*(-2/6/8)
x-Richtung: 0=r*(-2) → r=0
y-Richtung: 4=r*6 → r=4/6=2/3 Widerspruch
Deine Definition ist nicht ganz korrekt, da etwas spezifiziert werden muss:
Drei Vektoren u,v,w sind linear abhängig wenn einer der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden aufgestellt werden kann.
Falls u dieser Vektor ist so lautet es:
u = a*v + b*w (a,b sind reell)
Wenn das gilt, dann gilt Automatisch die zweite Definition, da du die Gleichung umformen kannst zu:
0=-1* u + a*v + b*w
(Somit folgt, dass wenn die erste Definition gilt, dann auch die zweite erfüllt ist)
Jetzt die zweite Definition:
Seinen u, v, w linear abhängig, dann gibt es a,b,c aus den reellen Zahlen (mindestens eine Zahl davon ist ungleich 0)
Sodass
a*u+b*v+c*w=0 gilt
Da mindestens einer der drei Faktoren nicht 0 ist, kannst du durch diesen Teilen und dann den dazugehörigen Vektor auf die andere Seite bringen (und dann Mal -1)
Dann erhälst du deine erste Definition.
Somit erhälst du, dass beide Definitionen äquivalent sind, aber nur wenn deine erste Definition so angepasst wurde, so wie ich es geschrieben habe.
Beispiel, damit mit sieht, dass die erste Definition angepasst werden muss:
Die Vektoren (1,1,1) , (2,2,2), (1,0,0) sind linear abhängig, da die ersten beiden Vektoren offensichtlich kollinear sind. (Nimm als Faktoren 1, -1 und 0)
Jedoch kannst du den dritten Vektor nicht als Linearkombination der ersten beiden Vektoren schreiben. Den ersten/zweiten jedoch schon
ich denke, dass du deine Formel nimmst, wenn gesagt wird: stelle den Vektor 1 als Linearkombination von V2 und V3 dar.
Wenn gefragt wird: sind die 3 Vektoren l.a. oder l.u dann nimmst du die Formel mit =0
und berechnest mit dem Additionsverfahren r,s,t ; wenn mindestens einer ungleich 0 ist, dann sind die 3 Vektoren l.a.
Die "richtige Definition" der Linearen Abhängigkeit lautet...
v ist von {b1, b2, ...., bn} linear abhängig, wenn...
sich v also als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt.
Deine zwei Gleichungen oben sind eine Folge daraus. (Wobei die 2. Formel so wie sie dasteht irreführend ist).
(Vektor 1)= r*(Vektor 2) +s*(Vektor 3)
Beschreibt genau dasselbe wie ich oben, nur für 3 Vektoren.
R*(Vektor 1)+s*(Vektor 2)+t*(Vektor 3)=0
Ist die Allgemeine Darstellung und wenn man das Umformt, steht da...
(PS: sollte natürlich s/-R und t/-R heißen, macht aber nichts)
Also dasselbe wie deine Gleichung aus dem Unterricht.
Vorausgesetzt natürlich, dass R =/= 0 ist, was ja eine Voraussetzung für die Lineare Abhängigkeit ist (Zur Erinnerung: Die Vektoren sind linear unabh. wenn alle Koeffizienten 0 sein müssen, um die Gleichung zu erfüllen)
-Wie ist das denn jetzt, bzw welche Formel ist richtig? :(
Wie bereits gezeigt: Beide, aber in einer anderen Schreibweise/Kontext.
-Also generell verstehe ich auch nicht richtig den Unterschied, was eine Linearkombination ist, und was Linear abhängig? :O
Linear abhängig ist, wenn sich z.B. der Vektor v als Linearkombination von den anderen Vektoren schreiben lässt & eine Linearkombination ist, wenn man einen Vektor mit Additionen bzw. Skalarmultiplikation von anderen Vektoren berechnen kann. (Also wie ganz oben in der ersten Gleichung der Fall)
Z.b. kann ich (1,2) = (1,1) + 1/2*(0,2) ausdrücken. (1,2) wird dabei als Linearkombination von (1,1) und (0,2) berechnet.
-Aber wie ist das z.b., wenn nur zwei davon linear abhängig sind, weil da ja manchmal z.b. steht " zeichnen Sie die Repräsentanten Dreier Vektoren, von denen zwei linear unabhängig, alle drei aber linear abhängig sind"? Gibt es da wohl Unterschiede, das es bei allen Vektoren anders ist als bei einzelnen??
Ja, es ist möglich, dass zwei Vektoren zueinander l.u. sind, aber wenn man einen dazunimmt, ist das System (also die drei Vektoren zusammen) l.a.
Ein Beispiel dafür wäre z.b. (1,0) und (0,1). Diese sind zueinander offensichtlich linear unabhänig. Aber (1,0), (0,1) und (1,1) sind linear abhängig, weil (1,1) = (1,0) + (0,1)
Hallo flowerpower202,
beides ist richtig: n Vektoren heißen linear abhängig, wenn es eine nicht- triviale Linearkombination, also einen Ausdruck der Form
(1) x₁∙𝔳₁ + x₂∙𝔳₂ + … + xₙ∙𝔳ₙ
gibt, bei der der Nullvektor herauskommt. Dabei sind 𝔳₁, …, 𝔳ₙ die Vektoren und die x₁, …, xₙ einfach Zahlen. "Trivial" hieße, dass die alle gleich 0 sein müssten, damit das klappt.
Gäbe es nur die triviale Lösung, hießen 𝔳₁, …, 𝔳ₙ linear unabhängig. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einem Vektorraum heißt seine Dimension.
Nehmen wir nun an, dass x₁ ≠ 0 ist. Dann kannst Du
(2.1) 0 = x₁∙𝔳₁ + x₂∙𝔳₂ + … + xₙ∙𝔳ₙ
zu
(2.2) −x₁∙𝔳₁ = x₂∙𝔳₂ + … + xₙ∙𝔳ₙ
umformen, beide Seiten durch −x₁ teilen und erhältst
(2.3) 𝔳₁ = ξ₂∙𝔳₂ + … + ξₙ∙𝔳ₙ,
wobei natürlich ξ₂ = −x₂⁄x₁ usw. ist.
Anschaulich betrachtet......kannst Du aus den Vektoren, ggf. durch Strecken/ Stauchen und/ oder umkehren wieder zum Ausgangspunkt gelangen kannst. Wenn das möglich ist, kannst Du jeden Vektor auch als Linearkombination der anderen ausdrücken.
Abb. 1: Ist ein Vektor Summe (oder Differenz) zweier anderer, sind die drei linear abhängig.
Im dreidimensionalen Raum......sind n Vektoren immer linear abhängig, wenn n > 3 ist. Hast Du 3 linear unabhängige Vektoren zur Hand, kannst Du damit jeden weiteren Vektor des Raumes ausdrücken, und von einem Punkt O aus auch jeden Punkt erreichen.
Die Vektoren bilden zusammen eine Basis des Raums und mit O zusammen ein Koordinatensystem.
Abb. 2: Ein Spezialfall liegt vor, wenn die Basisvektoren untereinander orthogonal sind und dieselbe Länge haben.
Aber wie ist das z.b., wenn nur zwei davon linear abhängig sind,...
Das wäre die Situation, dass zwei Vektoren parallel bzw. antiparallel sind und der dritte eine andere Richtung hat.
...weil da ja manchmal z.b. steht " zeichnen Sie die Repräsentanten Dreier Vektoren, von denen zwei linear unabhängig, alle drei aber linear abhängig sind"?
Das ist das Gegenteil des Obigen, s. Abb. 1. Von den 3 Vektoren dort sind keine 2 parallel oder antiparallel, aber sie liegen alle in einer Ebene.
